已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.(1)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;(2)证

已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.(1)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;(2)证

题型:不详难度:来源:
已知向量


u
=(x,y)
与向量


v
=(y,2y-x)
的对应关系可用


v
=f(


u
)
表示.
(1)设


a
=(1,1),


b
=(1,0)
,求向量f(


a
)及f(


b
)
的坐标;
(2)证明:对于任意向量


a


b
及常数m、n,恒有f(m


a
+n


b
)=mf(


a
)+nf(


b
)
成立;
(3)求使f(


c
)=(3,5)
成立的向量


c
答案
(1)f(


a
 )=(1,2-1)=(1,1),f(


b
)=(0,2×0-1)=(0,-1),
f(


a
)=(1,1),f(


b
)=(0,-1)

(2)设


a
=(x1y1),


b
=(x2y2)
,∴m


a
+n


b
=(mx1+nx2,my1+ny2 ),
∴f(m


a
+n


b
 )=( my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2 ),
∴mf(


a
)+nf(


b
)=m(y1,2y1-x1 )+n(y2,2y2-x2 )=( my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2 ),
∴对于任意向量


a


b
及常数m、n,f(m


a
+n


b
)=mf(


a
)+nf(


b
)
成立.
(3)设


a
=(x,y),则 f(


a
)=(y,2y-x),∴





y=3
2y-x=5

∴x=1,y=3,∴


c
=(1,3)
举一反三
设向量


a
=(6,2),


b
=(-3,k).
(1)当


a


b
时,求实数k的值;
(2)当


a


b
时,求实数k的值.
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a
=(1,2)


b
=(x,1)


u
=


a
+2


b


v
=2


a
-


b
,且


u


v
,则x=______.
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a
=(6,-8)
,则与


a
平行的单位向量是______.
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已知平面向量


a
=(2m+1,3),


b
=(2,m)
,且


a


b
,则实数m的值等于______.
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已知


a
=(8,
x
2
),


b
=(x,1),其中x>0,若(


a
-2


b
2


a
+


b
),则x的值______.
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