已知A、B、C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为零的实数λ、m、n使λOA+mOB+nOC=0，那么λ+m+n的值等于______．

题型：不详难度：来源：

已知A、B、C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为零的实数λ、m、n使λ

OA

+m

OB

+n

OC

=

0

，那么λ+m+n的值等于______．

答案

∵A、B、C三点共线，∴存在实数k，使得

AB

=k

BC

∵

AB

=

OB

-

OA

，

BC

=

OC

-

OB

∴

OB

-

OA

=k（

OC

-

OB

），化简整理得：

OA

-（k+1）

OB

+k

OC

=

O

∵λ

OA

+m

OB

+n

OC

=

O

，
∴①当k=-1时，比较系数得：m=0且λ=-n，所以λ+m+n=0
②当k≠-1时，可得

λ

1

=

m

-k-1

=

n

k

，得m=（-k-1）λ，n=kλ
由此可得：λ+m+n=λ+（-k-1）λ+kλ=0
综上所述，λ+m+n的值为0
故答案为：0