正△ABC边长等于3，点P在其外接圆上运动，则AP•PB的取值范围是（　　）A．[-32，32]B．[-32，12]C．[-12，32]D．[-12，12]

题型：不详难度：来源：

正△ABC边长等于

3

，点P在其外接圆上运动，则

AP

•

PB

的取值范围是（　　）

A．[- 3 2 ， 3 2 ]

B．[- 3 2 ， 1 2 ]

C．[- 1 2 ， 3 2 ]

D．[- 1 2 ， 1 2 ]

答案

如图所示．
由正△ABC边长等于

3

，点P在其外接圆上运动．
∴∠AOB=120°，R=

1

2

3

sin60°

=1．
∴

AP

•

PB

=(

OP

-

OA

)•(

OB

-

OP

)
=

OP

•

OB

-

OP

2-

OA

•

OB

+

OA

•

OP

=cos∠POB-1-cos120°+cos∠AOP
=2cos∠AOBcos（∠AOP-∠POB）-

1

2

=-cos（∠AOP-∠POB）-

1

2

，
∵-1≤cos（∠AOP-∠POB）≤1，
∴

AP

•

PB

∈[-

3

2

，

1

2

]．
故选：B．