点A、B分别是以双曲线x216-y220=1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆C上,且位于x轴上方,PA•PF=0
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点A、B分别是以双曲线x216-y220=1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆C上,且位于x轴上方,PA•PF=0
题型:不详
难度:
来源:
点A、B分别是以双曲线
x
2
16
-
y
2
20
=1
的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆C上,且位于x轴上方,
PA
•
PF
=0
(I)求椭圆C的方程;
(II)求点P的坐标;
(III)设M是椭圆长轴AB上的一点,点M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到M的距离d的最小值.
答案
解(I)已知双曲线实半轴a
1
=4,虚半轴b
1
=2
5
,半焦距c
1
=
16+20
=6
,
∴椭圆的长半轴a
2
=c
1
=6,椭圆的半焦距c
2
=a
1
=4,椭圆的短半轴b
2
=
6
2
-
4
2
=
20
,
∴所求的椭圆方程为
x
2
36
+
y
2
20
=1
(II)由已知A(-6,0),F(4,0),
设点P的坐标为(x,y),则
AP
=(x+6,y),
FP
=(x-4,y)
,由已知得
x
2
36
+
y
2
20
=1
(x+6)(x-4)+
y
2
=0
则2x
2
+9x-18=0,解之得
x=
3
2
或x=-6
,
由于y>0,所以只能取
x=
3
2
,于是
y=
5
2
3
,所以点P的坐标为
(
3
2
,
5
2
3
)
(9分)
(Ⅲ)直线
AP:x-
3
y+6=0
,设点M是(m,0),则点M到直线AP的距离是
|m+6|
2
,于是
|m+6|
2
=|m-6|
,
又∵点M在椭圆的长轴上,即-6≤m≤6∴m=2
∴当m=2时,椭圆上的点到M(2,0)的距离
d
2
=(x-2
)
2
+
y
2
=
x
2
-4x+4+20-
5
x
2
9
=
4
9
(x-
9
2
)
2
+15
又-6≤x≤6∴当
x=
9
2
时,d取最小值
15
举一反三
设
|
a
|=3
,
|
b
|=2
,且
a
与
b
的夹角为60°,则
|
a
-
b
|
=______.
题型:不详
难度:
|
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已知向量
a
=(-1,2),
b
=(3,4),则|
a
|
2
-
a
•
b
=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
若△ABC的面积
S=
15
4
,且
AB
•
AC
=
15
2
3
则∠BAC=______.
题型:安徽模拟
难度:
|
查看答案
若|a|=1,|b|=2,c=a-b,(1)若向量a与b方向相反,则|c|=______;(2)若c⊥a,则向量a与b的夹角为______.
题型:东城区模拟
难度:
|
查看答案
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的离心率为
2
2
,且短轴长为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)若与两坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,且
OA
•
OB
=
2
3
,
S
△AOB
=
2
3
,求直线l的方程.
题型:长春模拟
难度:
|
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