已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a1，a2，a3；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为c1，c2，c3，若i，j，k，l

题型：上海难度：来源：

已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为

，

；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为

，

，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则(

)•(

)的最小值是______．

答案

不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量

，

分别为

，

，以C为起点，其余顶点为终点的向量

，

分别为

，

．如图建立坐标系．
（1）当i=1，j=2，k=1，l=2时，则(

)•(

)=[（1，0）+（1，1）]•[（（-1，0）+（-1，-1）]=-5；
（2）当i=1，j=2，k=1，l=3时，则(

)•(

)=[（1，0）+（1，1）]•[（（-1，0）+（0，-1）]=-3；
（3）当i=1，j=2，k=2，l=3时，则(

)•(

)=[（1，0）+（1，1）]•[（（-1，-1）+（0，-1）]=-4；
（4）当i=1，j=3，k=1，l=2时，则(

)•(

)=[（1，0）+（0，1）]•[（（-1，0）+（-1，-1）]=-3；
同样地，当i，j，k，l取其它值时，(

)•(

)=-5，-4，或-3．
则(

)•(

)的最小值是-5．
故答案为：-5．

举一反三

已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么

•

的最小值为-3+2

-3+2

．

题型：不详难度：| 查看答案

过抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k₁，k₂的两条不同直线l₁，l₂，且k₁+k₂=2．l₁与E交于点A，B，l₂与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．
（I）若k₁＞0，k₂＞0，证明：

•

＜2p2；
（II）若点M到直线l的距离的最小值为

，求抛物线E的方程．

题型：湖南难度：| 查看答案

在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若

•

=1，则AB的长为

．

题型：天津难度：| 查看答案

设△ABC，P₀是边AB上一定点，满足P0B=

AB，且对于边AB上任一点P，恒有

•

≥

P0B

•

P0C

则（　　）

A．∠ABC=90°

B．∠BAC=90°

C．AB=AC

D．AC=BC

题型：浙江难度：| 查看答案

已知抛物线C：y²=8x与点M（-2，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若

•

=0，则k=（　　）

A．

B．

C．

D．2

题型：不详难度：| 查看答案