已知:向量a=(4cosα, sinα), b=(sinβ, 4cosβ), c=(cosβ, -4sinβ)(1)若tanαtanβ=16,求证:a
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已知:向量a=(4cosα, sinα), b=(sinβ, 4cosβ), c=(cosβ, -4sinβ)(1)若tanαtanβ=16,求证:a
题型:不详
难度:
来源:
已知:向量
a
=(4cosα, sinα),
b
=(sinβ, 4cosβ),
c
=(cosβ, -4sinβ)
(1)若tanαtanβ=16,求证:
a
∥
b
;
(2)若
a
与
b
-2
c
垂直,求tan(α+β)的值;
(3)求
|
b
+
c
|
的最大值.
答案
(1)∵tanαtanβ=16,∴sinαsinβ=16cosαcosβ,
∵
a
=(4cosα, sinα),
b
=(sinβ, 4cosβ)
,
∴4cosα•4cosβ=sinα•sinβ,
∴
a
∥
b
;
(2)∵
a
与
b
-2
c
垂直,∴
a
•(
b
-2
c
)=
a
•
b
-2
a
•
c
=0
,
即4cosαsinβ+4sinαcosβ-2(4cosαcosβ-4sinαsinβ)=0,
∴4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,
∴tan(α+β)=2;
(3)
b
+
c
=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),
∴
|
b
+
c
|
2
=(sinβ+cosβ)
2
+(4cosβ-4sinβ)
2
=17-30sinβcosβ=17-15sin2β
∴当sin2β=-1时,
|
b
+
c
|
取最大值
17+15
=
4
2
举一反三
若向量(cosα,sinα)与向量(3,4)垂直,则tanα=( )
A.
-
4
3
B.
4
3
C.
-
3
4
D.
3
4
题型:不详
难度:
|
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已知向量
a
=(2,x),
b
=(1,4)
,若
a
⊥
b
,则实数x的值为( )
A.8
B.
1
2
C.-
1
2
D.-2
题型:不详
难度:
|
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设m∈R,向量
a
=(1,-2),
b
=(m,m-2),若
a
⊥
b
,则m等于( )
A.
-
2
3
B.
2
3
C.-4
D.4
题型:不详
难度:
|
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已知向量
a
=(6,2),
b
=(3,k)
,若
a
⊥
b
,则k=______.
题型:不详
难度:
|
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直角坐标系xOy中,
i
,
j
分别是与x,y轴正方向同向的单位向量.在直角三角形ABC中,若
AB
=
i
+k
j
,
AC
=2
i
+
j
,且∠C=90°则k的值是______.
题型:不详
难度:
|
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