在△ABC中，满足AB与AC的夹角为60°，M是AB的中点．（1）若|AB|=|AC|，求向量AB+2AC与AB的夹角的余弦值．（2）若|AB|=2，|BC|=

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在△ABC中，满足AB与AC的夹角为60°，M是AB的中点．（1）若|AB|=|AC|，求向量AB+2AC与AB的夹角的余弦值．（2）若|AB|=2，|BC|=

题型：不详难度：来源：
在△ABC中，满足


AB
与


AC
的夹角为60°，M是AB的中点．
（1）若|


AB
|=|


AC
|，求向量


AB
+2


AC
与


AB
的夹角的余弦值．
（2）若|AB|=2，|


BC
|=2


3
，在AC上确定一点D的位置，使得


DB
•


DM
达到最小，并求出最小值．
答案
（1）设|


AB
|=|


AC
|=a，cos＜


AB
+2


AC
，


AB
＞=
(


AB
+2


AC
)•


AB
  
|


AB
+2


AC
|  |


AC
|
=
a2+a2


7a2
a
= 
2


7
7

（2）因为＜


AB
，


AC
＞  =60°，|AB|=2，|


BC
|=2


3
，由余弦定理知：|AC|=4
M是AB的中点，所以AM=1，因为D是AC上一点，设AD=x，则DC=4-x，所以


DB
•


DM
=(


DA
+


AB
)  •(


DA
+


AM
)=


DA
2+ 


DA
•


DM
+


AB
•


DA
+


AB
•


AM

=x2-
1
2
x-
1
2
×2x+2=(x-
3
4
)2+
23
16

所以当x=
3
4
∈(0，4)时，即D距A点
3
4
处，


DB
•


DM
取到最小，最小值为
23
16
．
举一反三
设s、t是两个非零实数，


a
、


b
是单位向量，若s


a
+t


b
与t


a
-s


b
的模相等，则向量


a
与


b
的夹角是______．
题型：不详难度：| 查看答案
已知|


a
|=


2
，|


b
|=3，


a
与


b
的夹角为45°，当


a
+λ


b
与λ


a
+


b
的夹角为锐角时，求λ的取值范围．
题型：不详难度：| 查看答案
设


a
，


b
，


c
是单位向量，且


a
=


b
+


c
，则向量


a
，


b
的夹角等于______．
题型：江苏模拟难度：| 查看答案
已知向量


a
=(1，


3
)，


b
=（-2，0）．
（Ⅰ） 求向量


a
-


b
的坐标以及


a
-


b
与


a
的夹角；
（Ⅱ）当t∈[-1，1]时，求|


a
-t


b
|的取值范围．
题型：不详难度：| 查看答案
已知


a
、


b
均为单位向量，（2


a
+


b
）•（


a
-2


b
）=-
3


3
2
，


a
与


b
的夹角为（　　）
A．30°B．45°C．135°D．150°
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