已知向量OA=(λsinα,λcosα),OB=(cosβ,sinβ),且α+β=4.(1)求OA,OB的夹角θ的大小;(2)求|AB|的最小值.
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已知向量OA=(λsinα,λcosα),OB=(cosβ,sinβ),且α+β=4.(1)求OA,OB的夹角θ的大小;(2)求|AB|的最小值.
题型:不详
难度:
来源:
已知向量
OA
=(λsinα,λcosα)
,
OB
=(cosβ,sinβ)
,且α+β=4.
(1)求
OA
,
OB
的夹角θ的大小;
(2)求
|
AB
|
的最小值.
答案
(1)
|
OA
|=|λ|
,
|
OB
|=1
OA
•
OB
=λ(sinαcosβ+cosαsinβ)=λsin4
cosθ=
OA
•
OB
|
OA
||
OB|
=
λsin4
|λ|
.
当λ>0时,cosθ=sin4=cos(4-
π
2
),
因0≤θ≤π,
0≤4-
π
2
≤π
,故
θ=4-
π
2
;
当λ<0时,
cosθ=-sin4=cos(
3π
2
-4)
,
因0≤θ≤π,
0≤
3π
2
-4≤π
,故
θ=
3π
2
-4
(2)
|
AB
|
2
=(
OB
-
OA
)
2
=
OB
2
-2
OB
•
OA
+
OA
2
=λ
2
-2λsin(α+β)+1
=λ
2
-2λsin4+cos
2
4+sin
2
4
=(λ-sin4)
2
+cos
2
4
≥cos
2
4
所以
|
AB
|
的最小值为-cos4.
举一反三
平面向量
a
=(3,-4),
b
=(2,x),
c
=(2,y)
,已知
a
∥
b
,
a
⊥
c
,求
b
和
c
的坐标及
b
与
c
夹角.
题型:不详
难度:
|
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设
AB=
(x,4)
,
BC
=(2,-1)
,若∠ABC为钝角,则x的取值范围是 ______.
题型:不详
难度:
|
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已知平面向量
a
=(1,2)
,
b
=(-1,3)
,
a
与
b
夹角的余弦值为 ______.
题型:盐城一模
难度:
|
查看答案
已知向量
a
=(2,-4)与向量
b
=(-1,λ)所成的角为钝角,则λ的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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已知向量
OA
=(k,2),
OB
=(2,5),
OC
=(k-1,9)
,且
AB
⊥
BC
,则
AB
与
AC
夹角的余弦值为______.
题型:不详
难度:
|
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