已知四点O（0，0），F（0，），M（0，1），N（0，2），点P（x，y）在抛物线x2=2y上。 （Ⅰ）当x0=3时，延长PN交抛物线于另一点Q，求∠POQ的

题型：江西省模拟题难度：来源：

已知四点O（0，0），F（0，），M（0，1），N（0，2），点P（x，y）在抛物线x²=2y上。
 （Ⅰ）当x₀=3时，延长PN交抛物线于另一点Q，求∠POQ的大小；
 （Ⅱ）当点P（x₀，y₀）（x₀≠0）在抛物线x²=2y上运动时，
ⅰ）以MP为直径作圆，求该圆截直线y=所得的弦长；
ⅱ）过点P作x轴的垂线交x轴于点A，过点P作该抛物线的切线l交x轴于点B。问：是否总有∠FPB=∠BPA？如果有，请给予证明；如果没有，请举出反例。

答案

解：（Ⅰ）当时，，，，
直线PN：代入，
得，，
所以，，，
所以，。
(Ⅱ) ⅰ）以MP为直径的圆的圆心为，
，
所以，圆的半径，
圆心到直线的距离；
故截得的弦长。
ⅱ）总有∠FPB=∠BPA。
证明：，
所以切线l的方程为，即，
令y=0，得，所以点B的坐标为，
点B到直线PA的距离为；
下面求直线PF的方程，
因为，所以直线PF的方程为，
整理，得，
所以点B到直线PF的距离为，
所以，，
所以，∠FPB=∠BPA。