四边形ABCD中,=a,=b,=с,=d,且a·b=b·с=с·d=d·a,试问四边形ABCD是什么图形?
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四边形ABCD中,=a,=b,=с,=d,且a·b=b·с=с·d=d·a,试问四边形ABCD是什么图形?
题型:不详
难度:
来源:
四边形ABCD中,
=a,
=b,
=с,
=d,且a·b=b·с=с·d=d·a,试问四边形ABCD是什么图形?
答案
四边形ABCD是矩形
解析
【错解分析】四边形的形状由边角关系确定,关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量,易忽视如下两点:(1)在四边形中,
,
,
,
是顺次首尾相接向量,则其和向量是零向量,即a+b+с+d=0,应注意这一隐含条件应用;(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积,因为数量积的定义式中含有边、角两种关系。
【正解】四边形ABCD是矩形,这是因为一方面:
由a+b+с+d=0得a+b=-(с+d),即(a+b)
2
=(с+d)
2
即|a|
2
+2a·b+|b|
2
=|с|
2
+2с·d+|d|
2
由于a·b=с·d,
∴|a|
2
+|b|
2
=|с|
2
+|d|
2
①
同理有|a|
2
+|d|
2
=|с|
2
+|b|
2
②
由①②可得|a|=|с|,且|b|=|d|
即四边形ABCD两组对边分别相等
∴四边形ABCD是平行四边形
另一方面,由a·b=b·с,有b(a-с)=0,而由平行四边形ABCD可得a=-с,
代入上式得b·(2a)=0即a·b=0,∴a⊥b也即AB⊥BC。
综上所述,四边形ABCD是矩形。
【点评】向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体,能与中学数学教学内容的许多主干知识综合,形成知识交汇点,所以高考中应引起足够的重视。基于这一点解决向量有关问题时要树立起数形结合,以形助数的解题思路。
举一反三
已知向量
,
满足
,且
,则
与
的夹角为
题型:不详
难度:
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如图:矩形ABCD中,AB=
BC=2 点E为BC的中点,点F在CD上。若
则
_____________。
题型:不详
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(本小题满分12分)
设定义在区间
上的函数
的图象为
,
是
上的任意一点,
为坐标原点,设向量
=
,
,
,当实数λ满足x="λ" x
1
+(1-λ) x
2
时,记向量
=λ
+(1-λ)
.定义“函数
在区间
上可在标准
下线性近似”是指 “
恒成立”,其中
是一个确定的正数.
(1)求证:
三点共线;
(2)设函数
在区间[0,1]上可在标准
下线性近似,求
的取值范围;
(3)求证:函数
在区间
上可在标准
下线性近似.
(参考数据:
=2.718,
)
题型:不详
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在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足
=2
,
则
·(
+
)等于( )
A.-
B.-
C.
D.
题型:不详
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在
ABC中,M是BC的中点,AM ="3,BC" =10,则
=______________
题型:不详
难度:
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