(附加题)已知圆O:x2+y2=4与x轴正半轴交于点A,在圆上另取两点B,C,使∠BAC=π4,平面上点G满足GA+GB+GC=0,求点G的轨迹方程.
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(附加题)已知圆O:x2+y2=4与x轴正半轴交于点A,在圆上另取两点B,C,使∠BAC=π4,平面上点G满足GA+GB+GC=0,求点G的轨迹方程.
题型:不详
难度:
来源:
(附加题)已知圆O:x
2
+y
2
=4与x轴正半轴交于点A,在圆上另取两点B,C,使
∠BAC=
π
4
,平面上点G满足
GA
+
GB
+
GC
=
0
,求点G的轨迹方程.
答案
法1:由
GA
+
GB
+
GC
=
0
,知点G即△ABC的重心,
圆O:x
2
+y
2
=4与x轴正半轴交于点A,
易知A(2,0)因为B、C在圆x
2
+y
2
=4上,故设点B(2cosθ,2sinθ).
由
∠BAC=
π
4
,则
∠B0C=
π
2
,
则点C的坐标为
(2cos(θ+
π
2
),2sin(θ+
π
2
))
,
由重心坐标公式得轨迹的参数方程:
x=
1
3
(2+2cosθ+2cos(θ+
π
2
))
y=
1
3
(2sinθ+2sin(θ+
π
2
))
(θ为参数)
即
x=
1
3
(2+2cosθ-2sinθ)
y=
1
3
(2sinθ+2cosθ)
化为普通方程是:
(x-
2
3
)
2
+
y
2
=
8
9
,轨迹为以点
(
2
3
,0)
为圆心,
2
2
3
为半径的圆.
法2:由
∠BAC=
π
4
,则
∠B0C=
π
2
,设BC的中点为P,易求得
OP=
2
.
故点P的轨迹方程为x
2
+y
2
=2,
连接AP,因为点G为△ABC的重心,所以点G为AP的一个三等分点.
由坐标转移法同理求得点G的轨迹方程为:
(x-
2
3
)
2
+
y
2
=
8
9
举一反三
在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且向量
m
=(sinA,sinB),
n
=(cosB,cosA),满足
m
•
n
=sin2C.
(1)求角C的大小;
(2)若sinA,sinC,sinB成等差数列,且
AC
•(
AC
-
AB
)=18
,求边c的长.
题型:不详
难度:
|
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已知△ABC中,
|
AB
|•|
AC
|=4且0≤
AB
•
AC
≤2
3
,设
AB
和
AC
的夹角θ.
(1)求θ的取值范围;
(2)求函数
y=2si
n
2
θ-
3
sin2θ
的最大值与最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知等边三角形ABC中,P在线段AB上,且
AP
=λ
AB
,若
CP
•
AB
=
PA
•
PB
,求实数λ的值.
题型:不详
难度:
|
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已知直线l过点P(0,2),斜率为k,圆Q:x
2
+y
2
-12x+32=0.
(1)若直线l和圆相切,求直线l的方程;
(2)若直线l和圆交于A、B两个不同的点,问是否存在常数k,使得
OA
+
OB
与
PQ
共线?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知向量
a
=(
1
2
cosx,
3
sinx),
b
=(4cosx,2cosx)
,函数
f(x)=
a
•
b
+k(k∈R)
(Ⅰ)求f(x)的单调增区间;
(Ⅱ)若x∈[0,π]时,f(x)的最大值为4,求k的值.
题型:邯郸二模
难度:
|
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