已知向量a=(sinA+B2，cosA-B2-324)，b=(54sinA+B2，cosA-B2+324)，其中A、B是△ABC的内角，a⊥b．（1）求tanA

题型：不详难度：来源：

已知向量

a

=(sin

A+B

2

，cos

A-B

2

-

3 2

4

)，

b

=(

5

4

sin

A+B

2

，cos

A-B

2

+

3 2

4

)，其中A、B是△ABC的内角，

a

⊥

b

．
（1）求tanA•tanB的值；
（2）若a、b、c分别是角A、B、C的对边，当C最大时，求

c

a

的值．

答案

（Ⅰ）由题意得

a

•

b

= (sin

A+B

2

，cos

A-B

2

-

3 2

4

)•(

5

4

sin

A+B

2

，cos

A-B

2

+

3 2

4

)=0
即

5

4

sin 2

A+B

2

+cos 2

A-B

2

-

9

8

=0，
-5cos（A+B）+4cos（A-B）=0
cosAcosB=9sinAsinB
∴tanA•tanB=

1

9

．
（2）由于tanA•tanB=

1

9

＞0，且A、B是△ABC的内角，
∴tanA＞0，tanB＞0
∴tanC=-tan(A+B)=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

9

8

(tanA+tanB)≤-

9

8

×2

tanA•tanB

=-

3

4

当且仅当 tanA=tanB=

1

3

取等号．
∴c为最大边时，有tanA=tanB=

1

3

，tanC=-

3

4

，
∴sinC=

3

5

，sinA=

1

10

由正弦定理得：

c

a

=

sinC

sinA

=

3 5

1 10

=

3 10

5

．