已知a，b满足|a|=|b|=1，且a与b之间有关系式|ka+b|=3|a-kb|，其中k＞0．（Ⅰ）用k表示a•b；（Ⅱ）求a•b的最小值，并求此时a与b的夹

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已知a，b满足|a|=|b|=1，且a与b之间有关系式|ka+b|=3|a-kb|，其中k＞0．（Ⅰ）用k表示a•b；（Ⅱ）求a•b的最小值，并求此时a与b的夹

题型：不详难度：来源：
已知


a
，


b
满足|


a
|=|


b
|=1，且


a
与


b
之间有关系式|k


a
+


b
|=


3
|


a
-k


b
|，其中k＞0．
（Ⅰ）用k表示


a
•


b
；
（Ⅱ）求


a
•


b
的最小值，并求此时


a
与


b
的夹角θ的大小．
答案
（Ⅰ）∵|k


a
+


b
|=


3
|


a
-k


b
|
∴|k


a
+


b
|2=3|


a
-k


b
|2，
∴4k


a
•


b
=k2+1，
∴


a
•


b
=
k2+1
4k
…（6分）；
（Ⅱ）


a
•


b
=
k2+1
4k
=
1
4
(k+
1
k
)≥
1
4
•2


k•
1
k
=
1
2
，当且仅当k=1时取“=”
故


a
•


b
的最小值为
1
2
…（10分）
∵
1
2
=


a
•


b
=|


a
||


b
|cos＜


a
，


b
＞=1×1×cos＜


a
，


b
＞，
∴cos＜


a
，


b
＞=
1
2
，
∴＜


a
，


b
＞=60°…（13分）．
举一反三
在边长为1的正三角形ABC中，设


BC
=2


BD
，


CA
=3


CE
则


AD
•


BE
=______．
题型：湖南难度：| 查看答案
设平面内有一四边形ABCD和点O，


OA
=


a
，


OB
=


b
，


OC
=


c，


OD
=


d
，且


a
+2


c
=


b
+2


d
，则四边形ABCD是______．
题型：不详难度：| 查看答案
已知点M，N的坐标分别为M(2cos2x，1)，N(1，2


3
sinxcosx+a)，(x∈R，a∈R，a是常数），且y=


OM
•


ON
（O为坐标点）．
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x），并求出f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，
π
2
]时，f（x）的最大值为4，求a的值，并说明此时f（x）的图象可由y=2sin(2x+
π
6
)的图象经过怎样的变换而得到．
题型：不详难度：| 查看答案
设


a
=(cos(θ-
π
6
) ，sin(θ-
π
6
)) ，


b
=(2cos(θ+
π
6
)，2sin(θ+
π
6
))．
（1）若向量(2t


b
+7


a
)与向量(


b
+t


a
)的夹角为锐角，求实数t的取值范围；
（2）当t在区间（0，1]上变化时，求向量2t


b
+
m
t


a
(m为常数，且m＞0）的模的最小值．
题型：不详难度：| 查看答案
已知向量


a
=(3cosα，3sinα)，


b
=(4cosβ，4sinβ)，且|


a
+2


b
|=7，
（Ⅰ）求向量


a
、


b
的夹角θ；
（Ⅱ）求(2


a
-4


b
)•(3


a
+


b
)的值．
题型：不详难度：| 查看答案
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