四边形ABCD是梯形,AB•AD=0,AB与CD共线,A,B是两个定点,其坐标分别为(-1,0),(1,0),C、D是两个动点,且满足|CD|=|BC|.(Ⅰ)
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四边形ABCD是梯形,AB•AD=0,AB与CD共线,A,B是两个定点,其坐标分别为(-1,0),(1,0),C、D是两个动点,且满足|CD|=|BC|.(Ⅰ)
题型:丰台区一模
难度:
来源:
四边形ABCD是梯形,
AB
•
AD
=0,
AB
与
CD
共线,A,B是两个定点,其坐标分别为(-1,0),(1,0),C、D是两个动点,且满足|CD|=|BC|.
(Ⅰ)求动点C的轨迹E的方程;
(Ⅱ)设直线BC与动点C的轨迹E的另一交点为P,过点B且垂直于BC的直线交动点C的轨迹E于M,N两点,求四边形CMPN面积的最小值.
答案
(Ⅰ)由
AB
•
AD
=0,
AB
与
CD
共线可知,
四边形ABCD是直角梯形,且CD⊥DA,又|CD|=|BC|,
所以动点C的轨迹为以B为焦点,DA为准线,
对称轴为x轴的抛物线.
设动点C的轨迹E的方程y
2
=2px(p>0),
则p=|AB|=2
所以动点C的轨迹E的方程是y
2
=4x(x≠0,x≠1)…(3分)
(Ⅱ)设直线BC斜率为k,
由题意知,k存在且k≠0,
直线BC的方程y=k(x-1)
依题意
y=k(x-1)
y
2
=4x
,
∴k
2
x
2
-(2k
2
+4)x+k
2
=0,
设P(x
1
,y
1
),C(x
2
,y
2
)
则
x
1
+
x
2
=
2
k
2
+4
k
2
,x
1
x
2
=1,
|PC|=
(1+
k
2
)[(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
]
=
4(1+
k
2
)
k
2
直线MN垂直于直线BC,
以-
1
k
替代上式中的k,得|MN|=4(k
2
+1)…(7分)
∴
S
四边形CMPN
=
1
2
|PC|•|BN|+
1
2
|PC|•|BM|
=
1
2
|PC|(|BN|+|BM|)
=
1
2
|PC|•|MN|
=
1
2
•
4(1+
k
2
)
k
2
•4(1+
k
2
)
=
8•
k
4
+2
k
2
+1
k
2
=8(
k
2
+
1
k
2
+2)
∵
k
2
+
1
k
2
≥2∴8(
k
2
+
1
k
2
+2)≥32
四边形CMPN面积的最小值等于32. …(12分)
举一反三
已知向量a=(2cosα,2sinα),b=(3cosβ,3sinβ),a与b的夹角为60°,则直线xcosα-ysinα+1=0与圆(x-cosβ)
2
+(y+sinβ)
2
=1的位置关系是( )
A.相切
B.相交
C.相离
D.随α,β的值而定
题型:不详
难度:
|
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已知直线l
1
:x-2y+3=0,l
2
过点(1,1),并且它们的方向向量
a
1
,
a
2
满足
a
1
•
a
2
=0
,那么l
2
的方程是______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
,过焦点且垂直于长轴的弦长为1,且焦点与短轴两端点构成等边三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过点Q(-1,0)的直线l交椭圆于A,B两点,交直线x=-4于点E,且
AQ
=λ
QB
,
AE
=μ
EB
.求证:λ+μ为定值,并计算出该定值.
题型:不详
难度:
|
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若△ABC三边长AB=5,BC=7,AC=8,则
AB
•
BC
等于______.
题型:不详
难度:
|
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已知A(a,a
2
)为抛物线y=x
2
上任意一点,直线l为过点A的切线,设直线l交y轴于点B,P∈l,且
AP
=2
PB
.当A点运动时,求点P的轨迹方程;求点
C(0,
1
12
)
到动直线l的最短距离,并求此时l的方程.
题型:不详
难度:
|
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