过点P(4,2)作直线l交x轴于A点、交y轴于B点,且P位于AB两点之间.(Ⅰ)AP=3PB,求直线l的方程;(Ⅱ)求当AP•PB取得最小值时直线l的方程.
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过点P(4,2)作直线l交x轴于A点、交y轴于B点,且P位于AB两点之间.(Ⅰ)AP=3PB,求直线l的方程;(Ⅱ)求当AP•PB取得最小值时直线l的方程.
题型:不详
难度:
来源:
过点P(4,2)作直线l交x轴于A点、交y轴于B点,且P位于AB两点之间.
(Ⅰ)
AP
=3
PB
,求直线l的方程;
(Ⅱ)求当
AP
•
PB
取得最小值时直线l的方程.
答案
由题意知,直线l的斜率k存在且k≠0,
设l:y=k(x-4)+2,得令y=0,得x=4-
2
k
,所以A(4-
2
k
,0),
再令x=0,得y=2-4k,所以B(0,2-4k)…2分
因为点P(4,2)位于A、B两点之间,所以
4-
2
k
>4
且2-4k>2,解得k<0.
∴
AP
=(
2
k
,2),
PB
=(-4,-4k)…2分
(Ⅰ)因为
AP
=3
PB
,所以
2
k
=3•(-4)
,所以
k=-
1
6
.
∴直线l的方程为y=
-
1
6
(x-4)+2,整理得x+6y-16=0.…3分
(Ⅱ)因为k<0,所以
AP
•
PB
=8((-k)+(-
1
k
))≥16
,
当
-k=-
1
k
即k=-1时,等号成立.
∴当
AP
•
PB
取得最小值时直线l的方程为y=-(x-4)+2,化为一般式:x+y-6=0.…3分.
举一反三
直线l的一个法向量
n
=(cosθ,1)(θ∈R),则直线l倾角α的取值范围是______.
题型:杨浦区二模
难度:
|
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直线y=3的一个单位法向量是______.
题型:不详
难度:
|
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已知向量
a
=(x,
2
y),
b
=(1,0)
,且
(
a
+2
b
)⊥(
a
-2
b
)
.点T(x,y)
(1)求点T的轨迹方程C;
(2)过点(0,1)且以
(2,
2
)
为方向向量的一条直线与轨迹方程C相交于点P,Q两点,OP,OQ所在的直线的斜率分别是k
OP
、k
OQ
,求k
OP
•k
OQ
的值.
题型:不详
难度:
|
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在正三角形ABC中,D是BC上的点.若AB=3,BD=1,则
AB
•
AD
=______.
题型:上海
难度:
|
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已知△ABC中,
CB
=
a
,
CA
=
b
,
a
•
b
<0,
S
△ABC
=
15
4
,|
a
|=3,|
b
|=5
,则
a
与
b
的夹角为______.
题型:不详
难度:
|
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