沿着正四面体OABC的三条棱OA、OB、OC的方向有大小等于1、2、3的三个力f1、f2、f3．试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦．

题型：不详难度：来源：

沿着正四面体OABC的三条棱

OA

、

OB

、

OC

的方向有大小等于1、2、3的三个力f₁、f₂、f₃．试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦．

答案

用

a

、

b

、

c

分别代表棱

OA

、

OB

、

OC

上的三个单位向量，则

f

₁=

a

，

f

₂=2

b

，

f

₃=3

c

，则

f

=

f

₁+

f

₂+

f

₃=

a

+2

b

+3

c

，
∴|

f

|²=（

a

+2

b

+3

c

）?（

a

+2

b

+3

c

）
=|

a

|²+4|

b

|²+9|

c

|²+4

a

?b+6

a

?

c

+12

b

?

c

=1+4+9+4|

a

||

b

|cos＜

a

，

b

＞+6|

a

||

c

|cos＜

a

，

c

＞+12|

b

||

c

|cos＜

b

，

c

＞
=14+4cos60°+6cos60°+12cos60°
=14+2+3+6=25．
∴|

f

|=5，即所求合力的大小为5，
且cos＜

f

，

a

＞=

f?a

|f||a|

=

|a|2+2a?b+3a?c

5

=

1+1+ 3 2

5

=

7

10

．
同理，可得cos＜

f

，

b

＞=

4

5

，cos＜

f

，

c

＞=

9

10

．