如图,四棱柱中,底面.四边形为梯形,,且.过三点的平面记为,与的交点为.(1)证明:为的中点;(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比;(3)若,,梯形
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如图,四棱柱中,底面.四边形为梯形,,且.过三点的平面记为,与的交点为.(1)证明:为的中点;(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比;(3)若,,梯形
题型:不详
难度:
来源:
如图,四棱柱
中,
底面
.四边形
为梯形,
,且
.过
三点的平面记为
,
与
的交点为
.
(1)证明:
为
的中点;
(2)求此四棱柱被平面
所分成上下两部分的体积之比;
(3)若
,
,梯形
的面积为6,求平面
与底面
所成二面角大小.
答案
(1)
为
的中点;(2)
;(3)
.
解析
试题分析:(1)利用面面平行来证明线线平行
∥
,则出现相似三角形,于是根据三角形相似即可得出
,即
为
的中点.(2)连接
.设
,梯形
的高为
,四棱柱被平面
所分成上下两部分的体积分别为
和
,
,则
.先表示出
和
,就可求出
,从而
.(3)可以有两种方法进行求解.第一种方法,用常规法,作出二面角.在
中,作
,垂足为
,连接
.又
且
,所以
平面
,于是
.所以
为平面
与底面
所成二面角的平面角.第二种方法,建立空间直角坐标系,以
为原点,
分别为
轴和
轴正方向建立空间直角坐标系.设
.因为
,所以
.从而
,
,所以
,
.设平面
的法向量
,再利用向量求出二面角.
(1)证:因为
∥
,
∥
,
,
所以平面
∥平面
.从而平面
与这两个平面的交线相互平行,即
∥
.
故
与
的对应边相互平行,于是
.
所以
,即
为
的中点.
(2)解:如图,连接
.设
,梯形
的高为
,四棱柱被平面
所分成上下两部分的体积分别为
和
,
,则
.
,
,
所以
,
又
所以
,
故
.
(3)解法1如第(20)题图1,在
中,作
,垂足为
,连接
.又
且
,所以
平面
,于是
.
所以
为平面
与底面
所成二面角的平面角.
因为
∥
,
,所以
.
又因为梯形
的面积为6,
,所以
.
于是
.
故平面
与底面
所成二面角的大小为
.
解法2如图,以
为原点,
分别为
轴和
轴正方向建立空间直角坐标系.
设
.因为
,所以
.
从而
,
,
所以
,
.
设平面
的法向量
,
由
得
,
所以
.
又因为平面
的法向量
,
所以
,
故平面
与底面
所成而面积的大小为
.
举一反三
在空间直角坐标系
中,已知
.若
分别是三棱锥
在
坐标平面上的正投影图形的面积,则( )
A.
B.
且
C.
且
D.
且
题型:不详
难度:
|
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如图,正方体
的边长为2,
,
分别为
,
的中点,在五棱锥
中,
为棱
的中点,平面
与棱
,
分别交于
,
.
(1)求证:
;
(2)若
底面
,且
,求直线
与平面
所成角的大小,并求线段
的长.
题型:不详
难度:
|
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如图,三棱柱
中,点
在平面ABC内的射影D在AC上,
,
.
(1)证明:
;
(2)设直线
与平面
的距离为
,求二面角
的大小.
题型:不详
难度:
|
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在如图所示的空间直角坐标系
中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )
A.①和②
B.③和①
C.④和③
D.④和②
题型:不详
难度:
|
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如图,在棱长为2的正方体
中,
分别是棱
的中点,点
分别在棱
,
上移动,且
.
当
时,证明:直线
平面
;
是否存在
,使平面
与面
所成的二面角为直二面角?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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