如图,四棱柱中,底面.四边形为梯形,,且.过三点的平面记为,与的交点为.(1)证明:为的中点;(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比;(3)若,,梯形

如图,四棱柱中,底面.四边形为梯形,,且.过三点的平面记为,与的交点为.(1)证明:为的中点;(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比;(3)若,,梯形

题型:不详难度:来源:
如图,四棱柱中,底面.四边形为梯形,,且.过三点的平面记为的交点为.
(1)证明:的中点;
(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比;
(3)若,梯形的面积为6,求平面与底面所成二面角大小.

答案
(1)的中点;(2);(3).
解析

试题分析:(1)利用面面平行来证明线线平行,则出现相似三角形,于是根据三角形相似即可得出,即的中点.(2)连接.设,梯形的高为,四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为,则.先表示出,就可求出,从而.(3)可以有两种方法进行求解.第一种方法,用常规法,作出二面角.在中,作,垂足为,连接.又,所以平面,于是.所以为平面与底面所成二面角的平面角.第二种方法,建立空间直角坐标系,以为原点,分别为轴和轴正方向建立空间直角坐标系.设.因为,所以.从而,所以.设平面的法向量,再利用向量求出二面角.
(1)证:因为,
所以平面∥平面.从而平面与这两个平面的交线相互平行,即.
的对应边相互平行,于是.
所以,即的中点.
(2)解:如图,连接.设,梯形的高为,四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为,则.



所以

所以
.
(3)解法1如第(20)题图1,在中,作,垂足为,连接.又,所以平面,于是.
所以为平面与底面所成二面角的平面角.
因为,所以.
又因为梯形的面积为6,,所以.
于是.
故平面与底面所成二面角的大小为.
解法2如图,以为原点,分别为轴和轴正方向建立空间直角坐标系.

.因为,所以.
从而
所以.
设平面的法向量

所以.
又因为平面的法向量
所以
故平面与底面所成而面积的大小为.
举一反三
在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥坐标平面上的正投影图形的面积,则(   )
A.B.
C.D.

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如图,正方体的边长为2,分别为的中点,在五棱锥中,为棱的中点,平面与棱分别交于.
(1)求证:
(2)若底面,且,求直线与平面所成角的大小,并求线段的长.

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如图,三棱柱中,点在平面ABC内的射影D在AC上,.
(1)证明:
(2)设直线与平面的距离为,求二面角的大小.

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在如图所示的空间直角坐标系中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为(   )
A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②

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如图,在棱长为2的正方体中,分别是棱的中点,点分别在棱,上移动,且.
时,证明:直线平面
是否存在,使平面与面所成的二面角为直二面角?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.

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