如图,三棱柱中,点在平面ABC内的射影D在AC上,,.(1)证明:;(2)设直线与平面的距离为,求二面角的大小.
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如图,三棱柱中,点在平面ABC内的射影D在AC上,,.(1)证明:;(2)设直线与平面的距离为,求二面角的大小.
题型:不详
难度:
来源:
如图,三棱柱
中,点
在平面ABC内的射影D在AC上,
,
.
(1)证明:
;
(2)设直线
与平面
的距离为
,求二面角
的大小.
答案
(1)详见试题分析;(2)
(或
).
解析
试题分析:(1)以
为坐标原点,射线
为
轴的正半轴,以
长为单位长,建立空间直角坐标系
,计算向量数量积
为0,从而证得
.也可以利用综合法:先由已知
平面
得平面
平面
,再由面面垂直的性质定理证得
平面
,而
为菱形中
最后由三垂线定理得
;(2)向量法:先求平面
和平面
的法向量
,再利用公式
来求二面角
的大小.综合法:先利用三垂线定理或其逆定理作出二面角
的平面角,再利用解三角形的有关知识求其余弦值大小.
试题解析:解法一:(1)
平面
,
平面
,故平面
平面
.又
,
平面
.连结
,∵侧面
为菱形,故
,由三垂线定理得
;(2)
平面
平面
,故平面
平面
.作
为垂足,则
平面
.又直线
∥平面
,因而
为直线
与平面
的距离,
.∵
为
的角平分线,故
.作
为垂足,连结
,由三垂线定理得
,故
为二面角
的平面角.由
得
为
的中点,
∴二面角
的大小为
.
解法二:以
为坐标原点,射线
为
轴的正半轴,以
长为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系
.由题设知
与
轴平行,
轴在平面
内.
(1)设
,由题设有
则
由
得
,即
(①).于是
.
(2)设平面
的法向量
则
即
.
故
,且
.令
,则
,点
到平面
的距离为
.又依题设,点
到平面
的距离为
.代入①解得
(舍去)或
.于是
.设平面
的法向量
,则
,即
,故且
.令
,则
.又
为平面
的法向量,故
,∴二面角
的大小为
.
举一反三
在如图所示的空间直角坐标系
中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )
A.①和②
B.③和①
C.④和③
D.④和②
题型:不详
难度:
|
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如图,在棱长为2的正方体
中,
分别是棱
的中点,点
分别在棱
,
上移动,且
.
当
时,证明:直线
平面
;
是否存在
,使平面
与面
所成的二面角为直二面角?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图6,四棱柱
的所有棱长都相等,
,四边形
和四边形
为矩形.
(1)证明:
底面
;
(2)若
,求二面角
的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图,
和
所在平面互相垂直,且
,
,E、F分别为AC、DC的中点.
(1)求证:
;
(2)求二面角
的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,∠BCA=90°,M,N分别是A
1
B
1
,A
1
C
1
的中点,BC=CA=CC
1
,
则BM与AN所成的角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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