(1)因为四棱锥S-ABCD中,ABCD为矩形,SD⊥AD,且SD⊥AB, 所以SD⊥平面ABCD. BD就是SB在底面ABCD上的射影. ∵AB=2AD,E为CD上一点,且CE=3DE. ∴tan∠DAE==,tan∠DBA==, ∴∠DAE=∠DBA,同理∠BDA=∠AED, ∴∠DAE+∠BDA=90°. ∴AE⊥BD,∴AE⊥SB.∵SB∩BD=B, ∴AE⊥平面SBD. (2)假设存在MN满足MN⊥CD且MN⊥SB. 建立如图所示的空间直角坐标系,
由题意可知,D(0,0,0),A(a,0,0),C(0,2a,0),B(a,2a,0),S(0,0,a), 设=+t=(a,2a,0)+t(-a,-2a,a)=(a-ta,2a-2ta,ta)(t∈[0,1]), 即M (a-ta,2a-2ta,ta),N(0,y,0),y∈[0,2a], =(a-ta,2a-2ta-y,ta). 使MN⊥CD且MN⊥SB, 则
可得 t=∈[0,1],y=a∈[0,2a]. 故存在MN使MN⊥CD且MN⊥SB. |