(1)证明:取AC中点E,联结BE,以点E为坐标原点,以EB,EC所在的直线分别为x轴,y轴建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则B( ,0,0),C(0,2,0),P(0,-1, ). 于是 =(- ,-1, ), =(- ,2,0). 因为 · =(- ,-1, )·(- ,2,0)=0,所以 ⊥ , 所以BP⊥BC,所以△PBC为直角三角形.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105114158-71810.png) (2)由(1)可得,A(0,-2,0). 于是 =(0,1, ), =( ,1,- ), =(0,3,- ). 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), 则 即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105114159-18663.png) 取y=1,则z= ,x= . 所以平面PBC的一个法向量为n=( ,1, ). 设直线AP与平面PBC所成的角为θ, 则sin θ=|cos〈 ,n〉|= = = , 所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为 . |