(1)证明:取AC中点E,联结BE,以点E为坐标原点,以EB,EC所在的直线分别为x轴,y轴建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则B(,0,0),C(0,2,0),P(0,-1,). 于是=(-,-1,),=(-,2,0). 因为·=(-,-1,)·(-,2,0)=0,所以⊥, 所以BP⊥BC,所以△PBC为直角三角形.
(2)由(1)可得,A(0,-2,0). 于是=(0,1,),=(,1,-),=(0,3,-). 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), 则即 取y=1,则z=,x=. 所以平面PBC的一个法向量为n=(,1,). 设直线AP与平面PBC所成的角为θ, 则sin θ=|cos〈,n〉|===, 所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为. |