如图,ABCD是块矩形硬纸板,其中AB=2AD,AD=,E为DC的中点,将它沿AE折成直二面角D-AE-B.(1)求证:AD⊥平面BDE;(2)求二面角B-AD

如图,ABCD是块矩形硬纸板,其中AB=2AD,AD=,E为DC的中点,将它沿AE折成直二面角D-AE-B.(1)求证:AD⊥平面BDE;(2)求二面角B-AD

题型:不详难度:来源:
如图,ABCD是块矩形硬纸板,其中AB=2ADADEDC的中点,将它沿AE折成直二面角D-AE-B.

(1)求证:AD⊥平面BDE
(2)求二面角B-AD-E的余弦值.
答案
(1)见解析(2)
解析
(1)由题设可知ADDE,取AE中点O,连接ODBE.∵ADDE,∴ODAE.又二面角D-AE-B为直二面角,∴OD⊥平面ABCE.又AEBE=2,AB=2,∴AB2AE2BE2.∴AEBE.取AB中点F,连接OF,则OFEB.∴OFAE.以点O为原点,OAOFOD分别为xyz轴建立空间直角坐标系(如图),

A(1,0,0),D(0,0,1),B(-1,2,0),E(-1,0,0),=(-1,0,1),=(1,-2,1),=(0,2,0),
n=(x1y1z1)是平面BDE的法向量,
x1=1,则z1=-1.
于是n=(1,0,-1).∴n=-.∴n.∴AD⊥平面BDE.
(2)设m=(x2y2z2)是平面ABD的一个法向量,
m·=0,m·=0,∴x2=1,则y2=1,z2=1,则m=(1,1,1),平面ADE的法向量=(0,1,0).∴cos〈m〉=.∴二面角B-AD-E的余弦值为.
举一反三
如图,在四棱锥PABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,ABADABCDAB=2AD=2CD=2,EPB的中点.
 
(1)求证:平面EAC⊥平面PBC
(2)若二面角PACE的余弦值为,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
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已知分别是平面的法向量,则平面的位置关系式(   )
A.平行B.垂直
C.所成的二面角为锐角 D.所成的二面角为钝角

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如图,在四棱锥中,底面是边长为1的菱形,底面的中点,的中点,,如图建立空间直角坐标系.

(1)求出平面的一个法向量并证明平面
(2)求二面角的余弦值.
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如图,在四棱锥中,底面,且底面为正方形,分别为的中点.

(1)求证:平面;
(2)求平面和平面的夹角.
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如图所示,在三棱锥中,平面,则与平面所成角的正弦值为__________.

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