解(证明)(1)∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥BC,AB⊥BD. ∵△BCD是正三角形,且AB=BC=a,∴AD=AC=. 设G为CD的中点,则CG=,AG=. ∴,,. 三棱锥D-ABC的表面积为. (2)取AC的中点H,∵AB=BC,∴BH⊥AC. ∵AF=3FC,∴F为CH的中点. ∵E为BC的中点,∴EF∥BH.则EF⊥AC. ∵△BCD是正三角形,∴DE⊥BC. ∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥DE. ∵AB∩BC=B,∴DE⊥平面ABC.∴DE⊥AC. ∵DE∩EF=E,∴AC⊥平面DEF. (3)存在这样的点N, 当CN=时,MN∥平面DEF. 连CM,设CM∩DE=O,连OF. 由条件知,O为△BCD的重心,CO=CM. ∴当CF=CN时,MN∥OF.∴CN=. |