已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为BB1、C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的法向量.

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已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为BB₁、C₁D₁的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的法向量.

答案

（-3，2，-4）为平面AMN的一个法向量.

解析

以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系.（如图所示）.

设棱长为1，则A（1，0，0），M(1，1，

)，N（0，

，1）.
∴

=（0，1，

），

=(-1，

，1).
设平面AMN的法向量n=（x，y，z）
∴

令y=2，∴x=-3，z=-4.∴n=（-3，2，-4）.
∴（-3，2，-4）为平面AMN的一个法向量.

举一反三

如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线
BD′上,∠PDA=60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小;
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.

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如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O₁的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8.BC是⊙O的直径，AB=AC=6，
OE∥AD.
（1）求二面角B-AD-F的大小；
（2）求直线BD与EF所成的角的余弦值.

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已知：正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面边长为2

，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点.
（1）求证：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；
（2）求点D₁到平面B₁EF的距离.

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如图所示，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点.求AB与平面BDF所成角的正弦值.

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已知ABCD是平行四边形，P点是ABCD所在平面外的一点，连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心.
（1）试用向量方法证明E、F、G、H四点共面；
（2）试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断.

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