试题分析:本题考查立体几何中的线面、面面关系,空间角,空间向量在立体几何中的应用等基础知识;考查运算求解能力、空间想象能力;考查数形结合思想、化归与转化等数学思想.第一问,法一,由,利用线面平行的判定得面,再利用面面平行的判定得面面,最后利用面面平行的性质得面;法二,建立空间直角坐标系,要证明线面平行,只需证AB与面DFC的法向量垂直即可;第二问,建立空间直角坐标系,利用三棱锥的体积公式计算体积,当体积最大值时,AE=1,再利用向量法求平面ABC和平面AEFD的法向量,利用夹角公式求二面角的余弦值. 试题解析:(1)证明:∵,面,面, ∴面, 2分 同理面, 3分 又,∴面面, 4分 又面,∴面. 5分 (2)法一:∵面面,又,面面, ∴面. 以所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立 空间直角坐标系, 7分 设,则, , ∴当时,三棱锥体积最大. 9分 ∵, ∴, 10分 设平面的法向量, , ∴, 令,得平面的一个法向量, 11分 又面的一个法向量为, ∴, 12分 ∴平面与平面所成锐二面角的余弦是 . 13分 法二:∵面面,又,面面, ∴面 以所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直 角坐标系. 2分 设,则. (1), 3分 面的一个法向量为, 4分 ,∴,又面, ∴面. 7分 (2)同法一. |