如图在四棱锥中,底面是菱形,,平面平面,,为的中点,是棱上一点,且.(1)求证:平面;(2)证明:∥平面;(3)求二面角的度数.
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如图在四棱锥中,底面是菱形,,平面平面,,为的中点,是棱上一点,且.(1)求证:平面;(2)证明:∥平面;(3)求二面角的度数.
题型:不详
难度:
来源:
如图在四棱锥
中,底面
是菱形,
,平面
平面
,
,
为
的中点,
是棱
上一点,且
.
(1)求证:
平面
;
(2)证明:
∥平面
;
(3)求二面角
的度数.
答案
(1)答案详见解析;(2)答案详见解析;(3)
解析
试题分析:
(1)常用的证明直线和平面垂直的方法有两种:①证明直线和平面内的两条相交直线垂直;②若两个平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.本题易证
,由平面
平面
,从而证明
平面
;(2)证明直线和平面平行的常用方法有两种:①证明直线和平面内的一条直线平行;②若两个平面平行,则一个平面内的直线平行于另一个平面.本题中,连接
,交
于
,连接
,易证
,故
,进而证明
∥平面
;(3)
选三条两两垂直的三条直线分别作为
轴,建立空间直角坐标系,用坐标表示相关点,分别求两个半平面的法向量并求其夹角,然后观察二面角是锐二面角还是钝二面角,从而决定取正或负角.
试题解析:(1)由已知
,
为
的中点,
,又因为平面
平面
,且平面
平面
=
,
面
,∴
平面
.
(2)连接
,交
于
,连接
,因为底面
是菱形,∴
,∴
∽
,
,∴
,
,又
,
,∴
,又
平面
,
平面
,∴
∥平面
.
(3)连结
,
底面
是菱形,且
,
是等边三角形,
由(1)
平面
.
.以
为坐标原点,
分别为
轴
轴
轴建立空间直角坐标系
则
. 10分
设平面
的法向量为
,
,注意到
∥
,解得
是平面
的一个法向量 12分
又平面
的法向量为
,设二面角
的大小为
,
,∴
,即二面角二面角
的度数为
.
举一反三
已知三条不重合的直线m,n,l 和两个不重合的平面α,β ,下列命题正确的是:( )
A.若m//n,n
α,则m//α
B.若α⊥β, α
β="m," n⊥m ,则n⊥α.
C.若l⊥n ,m⊥n,则l//m
D.若l⊥α,m⊥β, 且l⊥m ,则α⊥β
题型:不详
难度:
|
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在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,已知AB=5,AC=4,BC=3,AA
1
=4,点D在棱AB上.
(1)求证:AC⊥B
1
C;
(2)若D是AB中点,求证:AC
1
∥平面B
1
CD.
题型:不详
难度:
|
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设a,b为两条不同的直线,
为两个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A.若a∥α,α⊥β,则a∥β
B.若a∥b,a⊥β,则b⊥β
C.若a∥α,b∥α,则a∥b
D.若a⊥b,a∥α,则b⊥α
题型:不详
难度:
|
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正四面体ABCD的棱长为1,其中线段AB
平面
,E,F分别是线段AD和BC的中点,当正四面体绕以AB为轴旋转时,线段EF在平面
上的射影
长的范围是( )
A.[0,
]
B.[
,
]
C.[
,
]
D.[
,
]
题型:不详
难度:
|
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已知三条直线
,三个平面
,下列四个命题中,正确的是( )
A.
∥
B.
C.
D.
m∥n
题型:不详
难度:
|
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