在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,点D在棱AB上.(1)求证:AC⊥B1C;(2)若D是AB中点,求证:AC1∥平

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,点D在棱AB上.(1)求证:AC⊥B1C;(2)若D是AB中点,求证:AC1∥平

题型:不详难度:来源:
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,点D在棱AB上.

(1)求证:AC⊥B1C;
(2)若D是AB中点,求证:AC1∥平面B1CD.
答案
(1)详见解析;(2)详见解析
解析

试题分析:(1)要证明AC⊥B1C,根据线面垂直的判定定理,只要转化证明AC⊥平面BB1C1C即可;
(2)要证明AC1∥平面B1CD,根据线面的判定定理,只要转换证明DE//AC1即可.
试题解析:(1)证明:在△ABC中,因为AB=5,AC=4,BC=3,
所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.

因为直三棱柱ABC-A1B1C1,所以CC1⊥AC,
因为BC∩AC=C,所以AC⊥平面BB1C1C.
所以AC⊥B1C.   6分
(2)连结BC1,交B1C于E,连接DE.
因为直三棱柱ABC-A1B1C1,D是AB中点,所以侧面BB1C1C为矩形,
DE为△ABC1的中位线,所以DE//AC1
因为DE平面B1CD,AC1平面B1CD,所以AC1∥平面B1CD.   12分
举一反三
设a,b为两条不同的直线,为两个不同的平面,则下列说法正确的是(   )
A.若a∥α,α⊥β,则a∥βB.若a∥b,a⊥β,则b⊥β
C.若a∥α,b∥α,则a∥bD.若a⊥b,a∥α,则b⊥α

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正四面体ABCD的棱长为1,其中线段AB平面,E,F分别是线段AD和BC的中点,当正四面体绕以AB为轴旋转时,线段EF在平面上的射影长的范围是(    )
A.[0,]B.[]
C.[]D.[]

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已知三条直线,三个平面,下列四个命题中,正确的是(    )
A.B.C.D.m∥n

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如图,在五面体中,四边形是边长为的正方形,平面.

(1)求证:平面
(2)求直线与平面所成角的正切值.
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如图,在四棱台中,底面是平行四边形,平面.

(1)证明:平面
(2)证明:平面.
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