在如图的几何体中,平面为正方形,平面为等腰梯形,,,,.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.
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在如图的几何体中,平面为正方形,平面为等腰梯形,,,,.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
来源:
在如图的几何体中,平面
为正方形,平面
为等腰梯形,
,
,
,
.
(1)求证:
平面
;
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
答案
(1)详见解析;(2)
.
解析
试题分析:(1)先利用余弦定理以及
得到
与
的等量关系,然后利用勾股定理证明
,再结合已知条件
并利用直线与平面垂直的判定定理证明
平面
;证法二是在
中利用正弦定理并结合三角函数求出
的大小,进而得到
,再结合已知条件
并利用直线与平面垂直的判定定理证明
平面
;(2)解法一是将
进行平移使得与平面
相交,即取
的中点
,通过证明四边形
为平行四边形来达到证明
的目的,于是将问题转化为求直线
与平面
的角的正弦值,取
的中点
,先证明
平面
,于是得到直线
与平面
所成的角为
,最后在直角三角形
中计算
的值;解法二是建立以点
为坐标原点,
、
、
所在的直线分别为
轴、
轴、
轴的空间直角坐标系,利用空间向量法求直线
与平面
所成角的正弦值.
试题解析:(1)证明1:因为
,
,
在
中,由余弦定理可得
,
以
.所以
,
因为
,
,
、
平面
,
所以
平面
.
证明2:因为
,设
,则
,
在△
中,由正弦定理,得
.
为
,所以
.
整理得
,所以
.所以
.
因为
,
,
、
平面
,
所以
平面
;
(2)解法1:由(1)知,
平面
,
平面
,
所以
.
因为平面
为正方形,所以
.
因为
,所以
平面
,
取
的中点
,连结
,
,
因为
是等腰梯形,且
,
,
所以
.所以
是等边三角形,且
,
取
的中点
,连结
、
,则
.
因为
平面
,
,所以
,
因为
,所以
平面
,
所以
为直线
与平面
所成角,
因为
平面
,所以
,
因为
,
,
在
△
中,
.所以直线
与平面
所成角的正弦值为
;
解法2:由(1)知,
平面
,
平面
,
所以
.
因为平面
为正方形,所以
.
因为
,所以
平面
,所以
、
、
两两互相垂直.
建立如图的空间直角坐标系
,
因为
是等腰梯形,且
,
所以
.
不妨设
,则
,
,
,
,
,
所以
,
,
.
设平面
的法向量为
,则有
,即
,
取
,得
是平面
的一个法向量,
设直线
与平面
所成的角为
,
则
,
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
举一反三
如图,在三棱锥
中,
,
,
为
的中点,
为
的中点,且
为正三角形.
(1)求证:
平面
;
(2)若
,
,求点
到平面
的距离.
题型:不详
难度:
|
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如图1所示,正△ABC中,CD是AB边上的高, E、F分别是AC、BC的中点.现将△ACD沿CD折起,使平面
平面BCD(如图2),则下列结论中不正确的是( )
A.AB//平面DEF B.CD⊥平面ABD
C.EF⊥平面ACD D.V
三棱锥C—ABD
=4V
三棱锥C—DEF
题型:不详
难度:
|
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如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形,且∠ABC =60°,AB=PC=2,AP=BP=
.
(Ⅰ)求证:平面PAB⊥平面ABCD ;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的平面角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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已知直线
,平面
,且
,给出下列命题:
①若
∥
,则m⊥
; ②若
⊥
,则m∥
;
③若m⊥
,则
∥
; ④若m∥
,则
⊥
.其中正确命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
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如图,在平面四边形ABCD中,已知
,
,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD
平面BDC,设点F为棱AD的中点.
(1)求证:DC
平面ABC;
(2)求直线
与平面ACD所成角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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