本小题主要考查向量语言表述线线的垂直、平行关系、点到平面的距离和线面关系等基本知识,同时考查空间想象能力和推理、运算能力. (1)建立如图的坐标系,则 =(1,0,1),设E(1,t,0),则 =(1,t,-1),通过向量的数量积为0,计算可得D1E⊥A1D; (2)当E为AB的中点时,E(1,1,0), =(1,1,-1),求出平面ACD1的一个法向量,最后利用点到面的距离公式即可求点E到面ACD1的距离. (3)(2)连接DE,根据等腰直角三角形的性质,及线面垂直的判定和性质,可得DE⊥EC,D1E⊥EC,进而由∠D1ED即为二面角D1-EC-D的平面角,解三角形D1ED即可得到二面角D1-EC-D的大小; 解:以为坐标原点,直线分别为轴,建立空间直角坐标系,设,则 (Ⅰ) ………4分 (Ⅱ)因为为的中点,则,从而, ,设平面的法向量为,则 也即,得,从而,所以点到平面的距离为 ………8分 (Ⅲ)设平面的法向量, ∴ 由 令, ∴ 依题意 ∴(不合,舍去), ∴时,二面角的大小为 ………12分 |