如图在四棱锥中,底面是菱形,,底面,是的中点,是中点。(1)求证:∥平面;(2)求证:平面⊥平面;(3)求与平面所成的角。
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如图在四棱锥中,底面是菱形,,底面,是的中点,是中点。(1)求证:∥平面;(2)求证:平面⊥平面;(3)求与平面所成的角。
题型:不详
难度:
来源:
如图在四棱锥
中,底面
是菱形,
,
底面
,
是
的中点,
是
中点。
(1)求证:
∥平面
;
(2)求证:平面
⊥平面
;
(3)求
与平面
所成的角。
答案
解:(1)(2) 见解析
(3)直线BE与平面PAC所成的角为45
0
解析
往往有两个中点时,考虑中位线,当两中点不能构成中位线时,考虑构造另一个中点,组成两对中位线。∵ PA⊥平面ABCD 则PA⊥平面ABCD内所有的直线,∴ DF⊥PA,再结合四边形ABCD是菱形,找到另一垂直条件。
(1)取PD中点为M,连ME,MF ∵ E是PC的中点
∴ ME是△PCD的中位线∴ ME
CD ∵ F是AB中点且由于ABCD是菱形,AB
CD
∴ ME
FB ∴ 四边形MEBF是平行四边形 …………2分
∴ BE∥MF …………………3分
∵ BE
平面PDF ,MF
平面PDF ∴ BE∥平面PDF ………4分
(2) ∵ PA⊥平面ABCD DF
平面ABCD ∴ DF⊥PA……………5分
∵ 底面ABCD是菱形,∠BAD=60
0
∴ △DAB为正△
∵ F是AB中点 ∴ DF⊥AB ……………6分
∵ PA、AB是平面PAB内的两条相交直线 ∴ DF⊥平面PAB ………7分
∵ DF
平面PDF ∴ 平面PDF⊥平面PAB ………………8分
(3)连BD交AC与O、连EO ∵ 底面ABCD是菱形 ∴ BO⊥AC
∵ PA⊥平面ABCD BO
平面ABCD ∴ BO⊥PA
∵ PA、AC是平面PAC内的两条相交直线 ∴ BO⊥平面PAC …………9分
∴ EO是BE在平面PAC内的射影
∴ ∠BEO是BE与平面PAC所成的角 ………………10分
∵ O是AC、BD的中点 ∴ BO=1,EO是△PAC的中位线 ∴ EO=
PA=1
∴ 在直角△BEO中,tan∠BEO=
="1" ∴ ∠BEO=45
0
∴ 直线BE与平面PAC所成的角为45
0
举一反三
已知a、b是不重合的两个平面,
m
、
n
是直线,下列命题中不正确的是( )
A.若
m
∥
n
,
m
^a,则
n
^a
B.若
m
^a,
m
Ìb,则a^b
C.若
m
^a,a∥b,则
m
^b
D.若a^b,
m
Ìa,则
m
^b
题型:不详
难度:
|
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(本题满分12分)
如图,四棱锥
的底面是正方形,
,点E在棱PB上。
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)当
且E为PB的中点时,求AE与平
面PDB所成的角的大小。
题型:不详
难度:
|
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正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中, P是底面ABCD内的动点,PD
1
与底面ABCD所成角等于平面PB
1
C
1
与底面ABCD所成角,则动点P的轨迹是( )
A.圆弧
B.椭圆弧
C.双曲线弧
D.抛物线弧
题型:不详
难度:
|
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(本题满分14分)已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=
,N为AB上一点,AB=4AN, M,S分别为PB,BC的中点.
(Ⅰ)证明:CM⊥SN;
(Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小.
题型:不详
难度:
|
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设
,
是两个不同的平面,
是两条不重合的直线,下列命题中正确的是( )
A.若
,则
.
B.若
,则
.
C.若
,且
,则
.
D.若
,
且
,则
.
题型:不详
难度:
|
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