(Ⅰ)证明:(方法一)取A′B中点D,连接ED,DC, 因为E,D分别为AB,A′B中点, 所以ED=AA′,ED∥AA′, 所以ED=CF,ED∥CF,所以四边形EFCD为平行四边形, 所以EF∥CD, 又因为EF平面A′BC,CD平面A′BC′, 所以EF∥平面A′BC′。 | |
证明:(方法二)取BC中点O,连接AO,OC′, 由题可得AO⊥BC, 又因为面ABC⊥面, 所以AO⊥面, , ,所以, 可以建立如图所示的空间直角坐标系, 不妨设BC=2,可得,,, ,,, 所以, 所以 ,
则, 不妨取,则, 所以,
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(Ⅱ)(方法一)解:过F点作AA′的垂线FM交AA′于M, 连接BM,BF, 因为BF⊥CC′,CC′∥AA′, 所以BF⊥AA′,所以AA′⊥面MBF,
因为面ABC⊥面BCC′B′,所以A点在面BCC′B′上的射影落在BC上, 所以, 所以, 不妨设BC=2,则, 同理可得, 所以,
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(方法二)由(Ⅰ)方法二可得 , 设面的一个法向量为, 则, 不妨取, 则; 又,
则, 不妨取, 则, 所以,
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