如图，直三棱柱A1B1C1-ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB，D、E分别为棱C1C、B1C1的中点。 （1）求点E到平面ADB的距离；（2）求二面角

题型：0110 月考题难度：来源：

如图，直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB，D、E分别为棱C₁C、B₁C₁的中点。
（1）求点E到平面ADB的距离；
（2）求二面角E-A₁D-B的平面角的余弦值；
（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A₁DB？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由。

答案

解：（1）如图所示，以CB为x轴，CA为y轴，为z轴，
建立空间直角坐标系，
由，
可得C（0，0，0，）， A（0，2，0），
B（2，0，0），D（0，0，1），E（1，0，2），
则，，，
设平面ADB的法向量为，
得，
即，
则取法向量为，
则点E到平面ADB的距离。
（2），E（1，0，2），D（0，0，1），
可得，，
设平面的法向量为，
故可令，，D（0，0，1），B（2，0，0），
可得，，
设平面的法向量为，
故可令，∴，
即求二面角的余弦值为；
（3）假设存在点F，坐标为（0，y，0），则，
由EF⊥平面，得，
即，
∴F（0，1，0）即为AC的中点。