平面上有n个圆,其中每两个圆之间都相交于两个点,每三个圆都无公共点,它们将平面分成f(n)块区域,则f(n)的表达式是( )A.2nB.2n-(n-1)(n-
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平面上有n个圆,其中每两个圆之间都相交于两个点,每三个圆都无公共点,它们将平面分成f(n)块区域,则f(n)的表达式是( )A.2n | B.2n-(n-1)(n-2)(n-3) | C.n3-5n2+10n-4 | D.n2-n+2 |
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答案
∵一个圆将平面分为2份 两个圆相交将平面分为4=2+2份, 三个圆相交将平面分为8=2+2+4份, 四个圆相交将平面分为14=2+2+4+6份, … 平面内n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且任意三个圆不相交于同一点, 则该n个圆分平面区域数f(n)=2+(n-1)n=n2-n+2 证明:(1)当n=1时,一个圆把平面分成两个区域,而12-1+2=2,命题成立. (2)假设n=k(k≥1)时,命题成立,即k个圆把平面分成k2-k+2个区域. 当n=k+1时,第k+1个圆与原有的k个圆有2k个交点,这些交点把第k+1个圆分成了2k段弧, 而其中的每一段弧都把它所在的区域分成了两部分,因此增加了2k个区域, 共有k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2个区域. ∴n=k+1时,命题也成立. 由(1)、(2)知,对任意的n∈N*,命题都成立. 故选D. |
举一反三
在平面内圆具有性质“经过切点且垂直于切线的直线必过圆心”,将这一性质类比到空间中球的性质为“经过切点且______” |
定义A*B,B*C,C*D,D*A的运算分别对应下图中的(1),(2),(3),(4),那么,图中A,B可能是下列( )的运算的结果.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106074334-23604.png) A.B*D,A*D | B.B*D,A*C | C.B*C,A*D | D.C*D,A*D |
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法国数学家费马观察到221+1=5,222+1=17,223+1=257,224+1=65537都是质数,于是他提出猜想:任何形如22n+1(n∈N*)的数都是质数,这就是著名的费马猜想.半个世纪之后,善于发现的欧拉发现第5个费马数225+1=4294967297=641×700417不是质数,从而推翻了费马猜想,这一案例说明( )A.归纳推理,结果一定不正确 | B.归纳推理,结果不一定正确 | C.类比推理,结果一定不正确 | D.类比推理,结果不一定正确 |
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如图,将全体正整数排成一个三角数阵,根据规律,数阵中第n行的从左到右的第3个数是______..
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106074328-53530.png) |
在平面几何里有射影定理:设△ABC的两边AB⊥AC,D是A点在BC边上的射影,则AB2=BD•BC.拓展到空间,在四面体A-BCD中,DA⊥面ABC,点O是A在面BCD内的射影,且O在△BCD内,类比平面三角形射影定理,△ABC,△BOC,△BDC三者面积之间关系为______. |
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