已知命题:平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB、AD所成的角分别为α、β(如图1),则cos2α+cos2β=1.用类比的方法,把它推广到空间长方体中,试写
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已知命题:平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB、AD所成的角分别为α、β(如图1),则cos2α+cos2β=1.用类比的方法,把它推广到空间长方体中,试写
题型:不详
难度:
来源:
已知命题:平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB、AD所成的角分别为α、β(如图1),则cos
2
α+cos
2
β=1.用类比的方法,把它推广到空间长方体中,试写出相应的一个真命题并证明.
答案
有如下命题:长方体ABCD-A"B"C"D"中,对角线AC"与棱AB、AD、AA"所成的角分别为α,β,γ,则cos
2
α+cos
2
β+cos
2
γ=1…(4分)
证明:∵
cosα=
AB
AC′
,
C#O
cosβ=
AD
AC′
,
cosγ=
AA′
AC′
…(10分)
∴
co
s
2
α+co
s
2
β+co
s
2
γ=
A
B
2
+A
D
2
+A
A′
2
A
C′
2
=
A
C′
2
A
C′
2
=1
…(13分)
此题答案不唯一,只要类比写出的命题为真并证明,都应给相应的分数
举一反三
5男6女共11个小孩做如下游戏:先让4个小孩(不全是男孩)等距离站在一个圆周的4个位置上,如果相邻两个小孩同为男孩或同为女孩,则在他(她)们中间站进一个男孩,否则站进一个女孩,然后让原来的4个小孩暂时退出,即算一次活动.这种活动按上述规则继续进行,直至圆周上所站的4个小孩都是男孩为止.这样的活动最多可以进行( )
A.2次
B.3次
C.4次
D.5次
题型:不详
难度:
|
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由平面几何知识,我们知道在Rt△ABC中,若两条直线边的长分别为a,b,则△ABC的外接圆半径R=
a
2
+
b
2
2
,如果我们将这一结论拓展到空间中去,类比可得:在三棱锥中,若三条侧棱两两垂直,且它们的长分别为a,b,c,则条棱锥的外接球半径R=______.
题型:不详
难度:
|
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设面积为S的平面四边形的第i条边的边长为a
i
(i=1,2,3,4),P是该四边形内一点,点P到第i条边的距离记为
h
i
,若
a
1
1
=
a
2
2
=
a
3
3
=
a
4
4
=k,则
4
i=1
(i
h
i
=
2S
k
)
,类比上述结论,体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S
i
(i=1,2,3,4),Q是该三棱锥内的一点,点Q到第i个面的距离记为d
i
,若
S
1
1
=
S
2
2
=
S
3
3
=
S
4
4
=k,则
4
i=1
(i
d
i
)
等于______.
题型:不详
难度:
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已知命题:若数列{a
n
}为等差数列,且a
m
=a,a
n
=b(m≠n,m、n∈N
*
),则a
m+n
=
bn-am
n-m
;现已知等比数列{b
n
}(b
n
>0,n∈N
*
),b
m
=a,b
n
=b(m≠n,m、n∈N
*
),若类比上述结论,则可得到b
m+n
=______.
题型:不详
难度:
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下面给出了关于复数的四种类比推理:
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则;
②由向量a的性质|
a
|
2
=
a
2
类比得到复数z的性质|z|
2
=z
2
;
③方程ax
2
+bx+c=0(a,b,c⊆R)有两个不同实数根的条件是b
2
-4ac>0可以类比得到:方程az
2
+bz+c=0(a,b,c⊆C)有两个不同复数根的条件是b
2
-4ac>0;
④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.
其中类比错误的是______.
题型:不详
难度:
|
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