将正整数2,3,4,5,6,7,…,n,…作如下分类:(2),(3,4),(5,6,7),(8,9,10,11),…,分别计算各组包含的正整数的和,记为S1,S
题型:不详难度:来源:
将正整数2,3,4,5,6,7,…,n,…作如下分类:(2),(3,4),(5,6,7),(8,9,10,11),…,分别计算各组包含的正整数的和,记为S1,S2,S3,S4,…,记Tn=S1+S3+S5+…+S2n-1. (1)分别求T1,T2,T3的值; (2)请猜测Tn的结果,并用数学归纳法证明. |
答案
(1)第n组有n个从小到大连续的正整数,且第1个数是[1+2+3+…+(n-1)]+2=+2, 故Sn=n[+2]+=+2(n∈N*). S1=2,S3=18,S5=70,T1=S1=2, T2=S1+S3=2+18=20, T3=S1+S3+S5=2+18+70=90.…(6分) (2)由(1)知T1=2=1×2=12×(12+1), T2=20=4×5=22×(22+1), T3=90=9×10=32×(32+1) 猜想:Tn=n2(n2+1),(n∈N*). …(10分) 证明:(ⅰ)当n=1时,已知成立. (ⅱ)假设n=k(k∈N*)时,猜测成立,即Tk=k2(k2+1).则n=k+1时, Tk+1=Tk+S2k+1=k2(k2+1)+, 因为(k+1)2[(k+1)2+1]-k2(k2+1)- =[(k+1)4-k4]+[(k+1)2-k2]- =[(k+1)2+k2][(k+1)2-k2]+(2k+1)-(2k+1)(2k2+2k+2) =(2k+1)(2k2+2k+2)-(2k+1)(2k2+2k+2) =0, 所以k2(k2+1)+=(k+1)2[(k+1)2+1],即n=k+1时,猜测成立. 根据(ⅰ)(ⅱ),Tn=n2(n2+1)(n∈N*)成立. …(16分) |
举一反三
若n是正整数,定义n!=n×(n-1)×(n-2)×…3×2×1,如3!=3×2×1=6,设m=1!+2!+3!+4!+…+2011!+2012!,则m这个数的个位数字为______. |
将区间[0,1]内的均匀随机数x1转化为区间[-2,2]内的均匀随机数x,需要实施的变换为( )A.x=2x1 | B.x=4x1 | C.x=2x1+2 | D.x=4x1-2 |
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请阅读下列材料: 若两个实数a1,a2满足a1+a2=1,则+≥证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2x+a12+a22,因为对一切实数x,f(x)≥O恒成立,所以△=4-4×2(a12+a22)≤0,即+≥根据上述证明方法,若n个实数a1,a2,…,an满足a1+a2+…+an=1时,你能得到的不等式为:______. |
(文)一个函数f(x),如果对任意一个三角形,只要它的三边长a,b,c都在f(x)的定义域内,就有f(a),f(b),f(c)也是某个三角形的三边长,则称f(x)为“三角形函数”. (1)判断f1(x)=,f2(x)=x,f3(x)=x2中,哪些是“三角形函数”,哪些不是,并说明理由; (2)如果g(x)是定义在R上的周期函数,且值域为(0,+∞),证明g(x)不是“三角形函数”; (3)若函数F(x)=sinx,x∈(0,A),当A>时,F(x)不是“三角形函数”. |
若△ABC的三边之长分别为a、b、c,内切圆半径为r,则△ABC的面积为 .根据类比思想可得:若四面体A-BCD的三个侧面与底面的面积分别为S1、S2、S3、S4,内切球的半径为r,则四面体的体积为( ) |
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