在中学阶段,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合A由全体二元有序实数组组成,在
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在中学阶段,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合A由全体二元有序实数组组成,在
题型:闸北区一模
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来源:
在中学阶段,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合A由全体二元有序实数组组成,在A上定义一个运算,记为⊙,对于A中的任意两个元素α=(a,b),β=(c,d),规定:α⊙β=
(
.
a
-c
b
d
.
,
.
d
a
c
b
.
)
.
(1)计算:(2,3)⊙(-1,4);
(2)请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律和结合律,并任选其一证明;
(3)A中是否存在唯一确定的元素I满足:对于任意α∈A,都有α⊙I=I⊙α=α成立,若存在,请求出元素I;若不存在,请说明理由;
(4)试延续对集合A的研究,请在A上拓展性地提出一个真命题,并说明命题为真的理由.
答案
(1)(2,3)⊙(-1,4)=(5,14)
(2)设A中的任意三个元素α=(a,b),β=(c,d),γ=(e,f)
交换律:α⊙β=(ad+bc,bd-ac)=β⊙α结合律:(α⊙β)⊙γ=(adf+bcf+bde-ace,bdf-acf-ade-bce)=α⊙(β⊙γ)
(3)假设存在I=(x,y),α=(a,b),则I⊙α=α,
即(x,y)⊙(a,b)=(a,b)
⇔(
.
x
-a
y
b
.
,
.
b
x
a
y
.
)
=(a,b),
①若α=(0,0),显然有I⊙α=α成立;
②若α≠(0,0),则
所以
bx+ay=a
-ax+by=b.
解得x=0,y=1.
所以,存在I=(0,1)满足:对于任意α∈A,都有α⊙I=I⊙α=α成立.
(4)①举例计算,如计算(1,-1)⊙(0,-1)等不给分.
②计算α⊙α=(2ab,b
2
-a
2
)、α⊙(-α)=(-2ab,a
2
-b
2
)、(a,b)⊙(1,0)=(b,-a)、(a,b)⊙(0,0)=(0,0)等.
③定义“加法”⊕:(a,b)⊗(c,d)=(a+c,b+d),
并解释合理性(验证α⊕α=(0,2)⊙α).
④证明消去律成立:(a,b)⊙(c,d)=(a,b)⊙(e,f)⇒(c,d)=(e,f).
⑤方程α⊙x=e当α≠(0,0)时有解,并求出解
x=(
-a
a
2
+
b
2
,
b
a
2
+
b
2
)
.
⑥方程α⊙x=β当α≠(0,0)时有解,并求出解
x=(
ad-bc
a
2
+
b
2
,
-ac-bd
a
2
+
b
2
)
.
⑦定义“逆运算※”,对于A中的任意两个元素α=(a,b)≠(0,0),β=(c,d),
规定:β※α=
(
ad-bc
a
2
+
b
2
,
-ac-bd
a
2
+
b
2
)
解释合理性(如6)
举一反三
已知a
0
≠0,设方程a
0
x+a
1
=0的一个根是x
1
,则
x
1
=-
a
1
a
0
,方程
a
0
x
2
+
a
1
x+
a
2
=0
的两个根是x
1
,x
2
,则
x
1
+
x
2
=-
a
1
a
0
,由此类推方程
a
0
x
3
+
a
1
x
2
+
a
2
x+
a
3
=0
的三个根是x
1
,x
2
,x
3
,则x
1
+x
2
+x
3
=______.
题型:韶关模拟
难度:
|
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对于函数f(n)=
1
-(-1)
n
2
(n∈N
*
),我们可以发现f(n)有许多性质,如:f(2k)=0(k∈N
*
)等,下列关于f(n)的性质中一定成立的是( )
A.f(n+1)-f(n)=1
B.f(n+k)=f(n)(k∈N
*
)
C.α
f(n)
=f(n+1)+αf(n)(α≠0)
D.α
f(n+1)
=α-(α+1)f(n)(α≠0)
题型:衢州一模
难度:
|
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请阅读下列材料:若两个正实数a
1
,a
2
满足a
1
2
+a
2
2
=1,那么a
1
+a
2
≤
2
.证明:构造函数f(x)=(x-a
1
)
2
+(x-a
2
)
2
=2x
2
-2(a
1
+a
2
)x+1,因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以△≤0,从而得4(a
1
+a
2
)
2
-8≤0,所以a
1
+a
2
≤
2
.根据上述证明方法,若n个正实数满足a
1
2
+a
2
2
+…+a
n
2
=1时,你能得到的结论为______.
题型:焦作模拟
难度:
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设△ABC的三边长分别为a、b、c,△ABC的面积为S,内切圆半径为,则
r=
2S
a+b+c
.类比这个结论可知:四面体A-BCD的四个面分别为S
1
、S
2
、S
3
、S
4
,内切球半径为R,四面体A-BCD的体积为V,则R=______.
题型:不详
难度:
|
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将n
2
(n≥3)个正整数1,2,3,…,n
2
填入n×n方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形就叫做n阶幻方.记f(n)为n阶幻方对角线的和,如右表就是一个3阶幻方,可知f(3)=15,则f(n)=( )
8
1
6
3
5
7
4
9
2
题型:肇庆二模
难度:
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