已知圆O:x2+y2=4,点P为直线l:x=4上的动点,(1)若从P到圆O的切线长为2,求P的坐标以及两条切线所夹劣弧长;(2)若点A(-2,0),B(2,0)

已知圆O:x2+y2=4,点P为直线l:x=4上的动点,(1)若从P到圆O的切线长为2,求P的坐标以及两条切线所夹劣弧长;(2)若点A(-2,0),B(2,0)

题型:北京期末题难度:来源:
已知圆O:x2+y2=4,点P为直线l:x=4上的动点,
(1)若从P到圆O的切线长为2,求P的坐标以及两条切线所夹劣弧长;
(2)若点A(-2,0),B(2,0),直线PA、PB与圆O的另一个交点分别为M、N,求证:直线MN经过定点(1,0)。
答案

解:根据题意,设P(4,t),
(1)设两切点为C、D,则OC⊥PC,OD⊥PD,
由题意可知,
,解得t=0,
所以点P的坐标为(4,0),
在Rt△POC中,易得∠POC=60°,所以∠DOC=120°,
所以两切线所夹劣弧长为
(2)设M(x1,y1)、N(x2,y2),Q(1,0),
依题意,直线PA经过点A(-2,0),P(4,t),
可以设直线AP的方程为和圆联立,得到
代入消元得到,
因为直线AP经过点A(-2,0)、M(x1,y1),所以-2、x1是方程的两个根,
所以有
代入直线方程,得
同理,设直线BP的方程为,联立方程有
代入消元得到
因为直线BP经过点B(2,0)、N(x2,y2),所以2、x2是方程的两个根,
所以有
代入得到
,则,此时,
显然M、Q、N三点在直线x=1上,即直线MN经过定点Q(1,0);
若x1≠1,则t2≠12,x2≠1,所以有

所以,所以M、N、Q三点共线,
即直线MN经过定点Q(1,0);
综上所述,直线MN经过定点Q(1,0)。

举一反三
设P为直线3x+4y+3=0上的动点,过点P作圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的面积的最小值为
A.1
B.
C.2
D.
题型:湖北省模拟题难度:| 查看答案
如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,DE⊥AC,且DE交AC的延长线于点E,OE交AD于点F。
(Ⅰ)求证:DE是⊙O的切线;
(Ⅱ)若,求的值。
题型:吉林省模拟题难度:| 查看答案
已知C点在圆O直径BE的延长线上,CA切圆O于A点,DC是∠ACB的平分线交AE于点F,交AB于D点,则∠ADF=(    )。
题型:0127 模拟题难度:| 查看答案
⊙O内切于△ABC的边于D,E,F,AB=AC,连接AD交⊙O于点H,直线HF交BC的延长线于点G。
(1)求证:圆心O在直线AD上;
(2)求证:点C是线段GD的中点。
题型:0108 模拟题难度:| 查看答案
如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,DE与AC相交于点P。
(1)求证:AD∥EC;
(2)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD 的长。
题型:模拟题难度:| 查看答案
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