如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,垂足为E,∠ABC=45°,过E作AD的垂线交AD于F,交BC于G,过E作AD的平行线交AB于H.求证:FG2=
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如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,垂足为E,∠ABC=45°,过E作AD的垂线交AD于F,交BC于G,过E作AD的平行线交AB于H.求证:FG2=
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如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,垂足为E,∠ABC=45°,过E作AD的垂线交AD于F,交BC于G,过E作AD的平行线交AB于H.求证:FG
2
=AF·DF+BG·CG+AH·BH.
答案
见解析
解析
因为AC⊥BD,故△AED、△BEC都是直角三角形.
又EF⊥AD,EG⊥BC,
由射影定理可知AF·DF=EF
2
,
BG·CG=EG
2
.
又FG
2
=(FE+EG)
2
=FE
2
+EG
2
+2FE·EG=AF·DF+BG·CG+2FE·EG,∠ABC=45°,如图,过点H、A分别作直线HM、AN与BC垂直,易知,AH=
FE,BH=
EG,故AH·BH=2EF·EG.所以
FG
2
=AF·DF+BG·CG+2FE·EG=AF·DF+BG·CG+AH·BH.
举一反三
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题型:不详
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题型:不详
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题型:不详
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.
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