如图,在边长为1的等边△ABC中,D、E分别为边AB、AC上的点,若A关于直线DE的对称点A1恰好在线段BC上,(1)①设A1B=x,用x表示AD;②设∠A1A

如图,在边长为1的等边△ABC中,D、E分别为边AB、AC上的点,若A关于直线DE的对称点A1恰好在线段BC上,(1)①设A1B=x,用x表示AD;②设∠A1A

题型:不详难度:来源:
如图,在边长为1的等边△ABC中,DE分别为边ABAC上的点,若A关于直线DE的对称点A1恰好在线段BC上,

(1)①设A1Bx,用x表示AD;②设∠A1ABθ∈[0º,60º],用θ表示AD
(2)求AD长度的最小值.
答案
(1) y (0≤x≤1), AD·  θ∈[0º,60º]
(2) AD长度的最小值为2-3 当且仅当时取得最小值.
解析

试题分析:(1)设A1BxADy,在△A1BD中,BD=1-yA1DADy,有余弦定理得
y2=(1-y)2x2-2x(1-y)cos60º=(1-y)2x2xxyx2xxy-2y+1=0
y (0≤x≤1),
设∠A1ABθ∈[0º,60º],则在△A1BA中,由正弦定理得:
 ∴AA1
AD·     θ∈[0º,60º]
(2)y (0≤x≤1),令t=2-x∈[1,2]∴yt-3≥2-3
当且仅当t,即x=2-时等号成立.AD长度的最小值为2-3.
AD·    θ∈[0º,60º]
∵4sin(θ+60º)·cosθ=2sinθ·cosθ+2cos2θ=sin2θ (1+cos2θ)=sin2θcos2θ=2sin(2θ+60º)+
θ∈[0º,60º]∴2θ+60º∈[60º,180º]∴sin(2θ+60º)∈[0,1]
∴4sin(θ+60º)·cosθ∈[,2+]∴AD (2-)=2-3∴AD长度的最小值为2-3 当且仅当时取得最小值.
点评:本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力
举一反三
如图所示,PA为0的切线,A为切点,PBC是过点O的割线,PA ="10,PB" =5、

(I)求证:;
(2)求AC的值.
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有一张矩形纸片ABCD,其中AD=8cm,上面有一个以AD为直径的半圆,正好与对边BC相切.如图(甲).将它沿DE折叠,使A点落在BC上,如图(乙),这时,半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是【   】
A.(π-)cm2B.( π-)
C.(π+D.(π+

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如下图,菱形ABCD的边长为8cm,∠A=60°,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,则四边形BEDF的面积为____________cm2.
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如上图,已知矩形OABC的面积是,它的对角线OB与双曲线相交于点D,且OB:OD=5:3,则k=      .
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如上图,弧BE是半径为 6 的⊙D的圆周,C点是弧BE上的任意一点, △ABD是等边三角形,则四边形ABCD的周长p的取值范围是                
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