将双曲线C：x2-y2=1上点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形C′，试求C′的方程.

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将双曲线C：x²-y²=1上点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形C′，试求C′的方程.

答案

所求的C′方程为xy=

解析

由题意，得旋转变换矩阵
M=

，
任意选取双曲线x²-y²=1上的一点P（x₀,y₀），
它在变换T_M作用下变为P′(x′₀,y′₀),
则有M

，故

,
∴

，
又因为点P在曲线x²-y²=1上，所以

=1,
即有2

=1.∴所求的C′方程为xy=

举一反三

已知M=

.
（1）求逆矩阵M^-1；
（2）若矩阵X满足MX=

，试求矩阵X.

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已知矩阵M=

，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.

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试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M=

，N=

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已知变换T把平面上的点A（2，0），B（3，1）分别变换成点A′(2,1),B′(3,2)，试求变换T对应的矩阵M.

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已知O（0，0），A（2，1），O，A，B，C依逆时针方向构成正方形的四个顶点.
（1）求B，C两点的坐标；
（2）把正方形OABC绕点A按顺时针方向旋转45°得到正方形AB′C′O′，求B′，C′，O′三点的坐标.

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