已知矩阵A=12-14．（1）求A特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2．（2）求A531．

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已知矩阵A=12-14．（1）求A特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2．（2）求A531．

题型：不详难度：来源：
已知矩阵A=



12
-14



．（1）求A特征值λ1，λ2及对应的特征向量


α1
，


α2
．（2）求A5



3
1



．
答案
（1）f(λ)=
.
λ-1-2
1λ-4
.
=0⇒λ1=2，λ2=3，
当λ1=2时，





x-2y=0
x-2y=0
⇒


α1
=



2
1



，当λ2=3时，





2x-2y=0
x-y=0
⇒


α2
=



1
1




（2）令



3
1



=m



2
1



+n



1
1



，则





2m+n=3
m+n=1
⇒





m=2
n=-1
，A5



3
1



=A5(2


α1
-


α2
)=2
λ51


α1
-
λ52


α2
=64



2
1



-35



1
1



=



-115
-179



举一反三
给定矩阵M=



2
3
-
1
3
-
1
3
2
3



，N=



21
12



及向量e1=



1
1



，e1=



1
-1



．
（1）证明M和N互为逆矩阵；
（2）证明e1和e2都是M的特征向量．
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已知矩阵A=



1a
-1b



，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是α1=



2
1



．
（1）求矩阵A；
（2）若向量β=



7
4



，计算A5β的值．
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已知a，b∈R，矩阵A=



-1a
b3



所对应的变换TA将直线2x-y-3=0变换为自身．
（1）求实数a，b的值；
（2）计算A2



-1
3



．
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选修4-2：矩阵与变换
已知α=
.
2 
1 
.
为矩阵A=
.
1a
-14
.
属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A2．
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已知矩阵A=



20
03



，点M（-1，-1），点N（1，1）．
（1）求线段MN在矩阵A对应的变换作用下得到的线段M′N′的长度；
（2）求矩阵A的特征值与特征向量．
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