已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)。当x[0,1]时,f(x)=-x,若g(x)=f(x)-m(x+1)在区间(-1,2]有3个零点,则实
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已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)。当x[0,1]时,f(x)=-x,若g(x)=f(x)-m(x+1)在区间(-1,2]有3个零点,则实
题型:不详
难度:
来源:
已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)。当x
[0,1]时,f(x)=
-x,若g(x)=f(x)-m(x+1)在区间(-1,2]有3个零点,则实数m的取值范围是
A.(-
,
)
B.(-
,
]
C.
D.
答案
B
解析
试题分析:根据题意,可求出f(x)区间(-1,2]上的分段函数的表达式,然后在同一坐标系内作出y=f(x)和y=m(x+1)的图象,观察直线y=m(x+1)的斜率m变化,可得直线y=m(x+1)位于图中AB、AC之间(包括AC)活动时,两个图象有三个公共点,由此求出直线AB、AC的斜率并与实数m加以比较,即可得到本题的答案.解:设得x+1∈[0,1],此时f(x+1)=
-(x+1)=-x-
,
∵函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)
∴当-1≤x≤0时,f(x)=x+
.又∵f(x+2)=-f(x+1)═-[f(-x)]=f(x)∴f(x)是以2为周期的函数,可得当1≤x≤2时,f(x)=f(x-2)=x-
综上所述,得f(x)区间(-1,2]上的表达式为f(x)=
,
为了研究g(x)=f(x)-m(x+1)在区间(-1,2]上的零点,将其形为,f(x)=m(x+1),在同一坐标系内作出y=f(x)和y=m(x+1)的图象,如右图所示,y=f(x)图象是三条线段构成的折线,y=m(x+1)的图象是直线,因为直线y=m(x+1)经过定点A(-1,0),所以由图象可得当直线y=m(x+1),位于图中AB、AC之间(包括AC)活动时,两个图象有三个公共点,相应地,g(x)=f(x)-m(x+1)在区间(-1,2]也有3个零点,∵B(1,-0.5),C(2,0.5),,∴k
AB
=
而直线y=m(x+1)的斜率为m,它在AB、AC之间(包括AC)活动时,m(
,
].因此,使得g(x)=f(x)-m(x+1)在区间(-1,2]有3个零点的m取值范围为m(
,
],故选B
点评:本题给出分段函数图象与直线有三个公共点,求直线斜率m的取值范围,着重考查了基本初等函数的图象与性质、直线的斜率及其变化等知识,属于中档题
举一反三
已知
则
的值等于
。
题型:不详
难度:
|
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已知函数
是偶函数,则
的值等于( )
A.-8
B.-3
C.3
D.8
题型:不详
难度:
|
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函数
定义如下:对任意
,当
为有理数时,
;当
为无理数时,
;则称函数
为定义在实数上的狄利克雷拓展函数.下列关于函数
说法错误的是( )
A.
的值域为
B.
是偶函数
C.
是周期函数且
是
的一个周期
D.
在实数集上的任何区间都不是单调函数
题型:不详
难度:
|
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设函数
(Ⅰ)当
时,求函数
的极值;
(Ⅱ)当
时,讨论函数
的单调性.
(Ⅲ)若对任意
及任意
,恒有
成立,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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函数
,
,则
A.
为偶函数,且在
上单调递减
B.
为偶函数,且在
上单调递增
C.
为奇函数,且在
上单调递增
D.
为奇函数,且在
上单调递减
题型:不详
难度:
|
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