试题分析:(Ⅰ)是实数集上奇函数, ,即 ……2分. 将带入,显然为奇函数. ……3分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 要使是区间上的减函数,则有在恒成立,,所以. ……5分 要使在上恒成立, 只需在时恒成立即可. (其中)恒成立即可. ………7分 令,则即 ,所以实数的最大值为 ………9分 (Ⅲ)由(Ⅰ)知方程,即, 令
当时,在上为增函数; 当时,在上为减函数; 当时,. ………………11分 而 当时是减函数,当时,是增函数, 当时,. ………………12分 只有当,即时,方程有且只有一个实数根. …………14分 点评:近几年新课标高考对于函数与导数这一综合问题的命制,一般以有理函数与半超越(指数、对数)函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体,解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽,这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识,注重数学思想(分类与整合、数与形的结合)方法(分析法、综合法、反证法)的运用.把数学运算的“力量”与数学思维的“技巧”完美结合 |