解:函数中存在“倍值区间”,则:①f(x)在[a,b]内是单调函数;② f(a)="2a," f(b)=2b或f(a)="2b," f(b)=2a ①f(x)=x2(x≥0),若存在“倍值区间”[a,b],则 A=0,b=2 ∴f(x)=x2(x≥0),若存在“倍值区间”[0,2]; ②f(x)=ex(x∈R),若存在“倍值区间”[a,b],则f(a)="2a," f(b)=2b 构建函数g(x)=ex-x,∴g′(x)=ex-1,∴函数在(-∞,0)上单调减,在(0,+∞)上单调增,∴函数在x=0处取得极小值,且为最小值.∵g(0)=1,∴,g(x)>0,∴ex-x=0无解,故函数不存在“倍值区间”; ③f(x)= 若存在“倍值区间”[a,b]⊆[0,1],则f(a)="2a," f(b)=2b ∴a=0,b=1,若存在“倍值区间”[0,1]; ④f(x)=loga(ax- ),loga(am-)=2m,loga(an-)="2n" (a>0,a≠1).不妨设a>1,则函数在定义域内为单调增函数 若存在“倍值区间”[m,n],则loga(an-)=2n,loga(am-)=2m ∴2m,2n是方程loga(ax-)=2x的两个根,∴2m,2n是方程a2x-ax+=0的两个根,由于该方程有两个不等的正根,故存在“倍值区间”[m,n];综上知,所给函数中存在“倍值区间”的有①③④ 故选C. |