解:(Ⅰ)由,解得或, ∴ 函数的定义域为 …………………2分 当时,
∴ 在定义域上是奇函数。 …………….4分 (Ⅱ)由时,恒成立, ①当时 ∴对恒成立 ∴ 在恒成立 ………………………6分 设 则
∴当时, ∴ 在区间上是增函数, ∴ …………………………8分 ②当时 由时,恒成立, ∴对恒成立 ∴ 在恒成立 ………………………9分 设 由①可知在区间上是增函数, ∴ …………………………10分 (Ⅲ)∵
∴ 当时,,=2,∴ 当时,,=6,∴ 当时, …………………………12分 下面证明:当时, 证法一:当时,
∴当时, …………………………14分 证法二:当时,要证明 只需要证明 (1)当时,,,成立 (2)假设,不等式成立,即 那么 ∴ 又因为 ∴ ∴时,不等式成立 综合(1)和(2),对,且不等式成立 ∴当时, …………………………14分 证法三:∵时, 构造函数
∴当时, ∴在区间是减函数, ∴当时, ∴在区间是减函数, 时, 时,,即 ∴当时, …………………………14分 |