已知二次函数f(x)=ax2+bx,且f(x+1)为偶函数,定义:满足f(x)=x的实数x称为函数f(x)的不动点,若函数f(x)有且仅有一个不动点,(1)求f
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已知二次函数f(x)=ax2+bx,且f(x+1)为偶函数,定义:满足f(x)=x的实数x称为函数f(x)的不动点,若函数f(x)有且仅有一个不动点,(1)求f
题型:不详
难度:
来源:
已知二次函数f(x)=ax
2
+bx,且f(x+1)为偶函数,定义:满足f(x)=x的实数x称为函数f(x)的不动点,若函数f(x)有且仅有一个不动点,
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)= f(x)+
+
x
2
在 (0,
]上是单调减函数,求实数k的取值范围;
(3)在(2)的条件下,是否存在区间[m,n](m<n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域为[km,kn]?若存在,请求出区间[m,n];若不存在,请说明理由。
答案
(1)f(x)= -
x
2
+x;(2)k
;(3)同解析。
解析
(1)f(x+1) ="a(x+1)"
2
+b(x+1) =" ax"
2
+(2a+b)x+a+b为偶函数,
∴2a+b=0,∴b=-2a,∴f(x)=ax
2
-2ax,′
∵函数f(x)有且仅有一个不动点,∴方程f(x)=x有且仅有一个解,
∴ax
2
-(2a+1)x=0有且仅有一个解,∴2a+1=0,a=-
,∴f(x)= -
x
2
+x
(2) g(x)= f(x)+
+
x
2
=x+
在 (0,
]上是单调增函数,
当k
0时,g(x)= x+
在(0,+
)上是单调增函数,∴不成立;′
当k>0时,g(x)= x+
在(0,
]上是单调减函数,∴
,∴k
(3)∵f(x)= -
x
2
+x= -
(x-1)
2
+
,∴kn
,∴n
<1,
∴f(x)在区间[m,n]上是单调增函数
∴
,即
,方程
的两根为0,2-2k′
当2-2k>0,即
k<1时,[m,n]= [0,2-2k]
当2-2k<0,即k>1时,[m,n]= [2-2k,0]′
当2-2k=0,即k=1时,[m,n] 不存在′
举一反三
若存在实常数
和
,使得函数
和
对其定义域上的任意实数
分别满足:
和
,则称直线
为
和
的“隔离直线”.已知
,
(其中
为自然对数的底数),根据你的数学知识,推断
与
间的隔离直线方程为
.
题型:不详
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设函数
(1)求
的单调增区间和单调减区间;
(2)若当
时(其中
e
=2.71828…),不等式
恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若关于x的方程
上恰有两个相异的实根,求实数
a
的取值范围。
题型:不详
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|
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,E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD上的点,若AE=AF=CG=CH,问AE取何值时,四边形EFGH的面积最大?并求最大的面积。
题型:不详
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|
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已知函数
为常数)是实数集R上的奇函数,函数
是区间[-1,1]上的减函数.
(1)求
a
的值; (2)若
上恒成立,求
的取值范围;
(3)讨论关于
的根的个数.
题型:不详
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设函数
定义域为
,当
时,
,且对于任意的
,都有
(1)求
的值,并证明函数
在
上是减函数;
(2)记△ABC的三内角A、B、C的对应边分别为
a
,b,c,若
时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围。
题型:不详
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|
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