已知二次函数f(x)=ax2+bx,且f(x+1)为偶函数,定义:满足f(x)=x的实数x称为函数f(x)的不动点,若函数f(x)有且仅有一个不动点,(1)求f

已知二次函数f(x)=ax2+bx,且f(x+1)为偶函数,定义:满足f(x)=x的实数x称为函数f(x)的不动点,若函数f(x)有且仅有一个不动点,(1)求f

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已知二次函数f(x)=ax2+bx,且f(x+1)为偶函数,定义:满足f(x)=x的实数x称为函数f(x)的不动点,若函数f(x)有且仅有一个不动点,
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)= f(x)++x2在 (0,]上是单调减函数,求实数k的取值范围;
(3)在(2)的条件下,是否存在区间[m,n](m<n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域为[km,kn]?若存在,请求出区间[m,n];若不存在,请说明理由。
答案
(1)f(x)= -x2+x;(2)k;(3)同解析。
解析

(1)f(x+1) ="a(x+1)" 2+b(x+1) =" ax" 2+(2a+b)x+a+b为偶函数,
∴2a+b=0,∴b=-2a,∴f(x)=ax2-2ax,′
∵函数f(x)有且仅有一个不动点,∴方程f(x)=x有且仅有一个解,
∴ax2-(2a+1)x=0有且仅有一个解,∴2a+1=0,a=-,∴f(x)= -x2+x
(2) g(x)= f(x)++x2=x+在 (0,]上是单调增函数,
当k0时,g(x)= x+在(0,+)上是单调增函数,∴不成立;′
当k>0时,g(x)= x+在(0,]上是单调减函数,∴,∴k
(3)∵f(x)= -x2+x= -(x-1)2+,∴kn,∴n<1,
∴f(x)在区间[m,n]上是单调增函数
,即,方程的两根为0,2-2k′
当2-2k>0,即k<1时,[m,n]= [0,2-2k]
当2-2k<0,即k>1时,[m,n]= [2-2k,0]′
当2-2k=0,即k=1时,[m,n] 不存在′
举一反三
若存在实常数,使得函数对其定义域上的任意实数分别满足:,则称直线的“隔离直线”.已知,(其中为自然对数的底数),根据你的数学知识,推断间的隔离直线方程为                 .
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设函数
(1)求的单调增区间和单调减区间;
(2)若当时(其中e=2.71828…),不等式恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若关于x的方程上恰有两个相异的实根,求实数a的取值范围。
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如图,在矩形ABCD中,已知AD=2,AB=,E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD上的点,若AE=AF=CG=CH,问AE取何值时,四边形EFGH的面积最大?并求最大的面积。
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已知函数为常数)是实数集R上的奇函数,函数是区间[-1,1]上的减函数.
(1)求a的值; (2)若上恒成立,求的取值范围;
(3)讨论关于的根的个数.
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设函数定义域为,当时,,且对于任意的,都有 
(1)求的值,并证明函数上是减函数;
(2)记△ABC的三内角A、B、C的对应边分别为a,b,c,若时,不等式恒成立,求实数的取值范围。
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