已知函数f(x)的图象过点(0,1),且与函数g(x)=212x-1-a-1的图象关于直线y=x-1成轴对称图形.(1)求函数f(x)的解析式及定义域;(2)若
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已知函数f(x)的图象过点(0,1),且与函数g(x)=212x-1-a-1的图象关于直线y=x-1成轴对称图形.(1)求函数f(x)的解析式及定义域;(2)若
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已知函数f(x)的图象过点(0,1),且与函数
g(x)=
2
1
2
x-1
-a-1
的图象关于直线y=x-1成轴对称图形.
(1)求函数f(x)的解析式及定义域;
(2)若三个正数m、n、t依次成等比数列,证明f(m)+f(t)≥2f(n).
答案
(1)在y=f(x)的图象上取点P(x,y),
设P点关于直线y=x-1对称的点为Q(m,n),
则
y-n
x-m
=-1
y+n
2
=
x+m
2
-1
⇒
m=y+1
n=x-1.
∵Q在y=g(x)的图象上,
∴
x-1=
2
y+1
2
-1
-a-1
⇒y=2log
2
(x+a)+1.
∵y=f(x)的图象过点(0,1),
∴1=2log
2
a+1⇒a=1.
故f(x)=2log
2
(x+1)+1,定义域为(-1,+∞).
(2)证明:∵n
2
=mt⇒(m+1)(t+1)
=mt+m+t+1
≥
n
2
+2
mt
+1
=(n+1)
2
,
∴f(m)+f(t)
=2log
2
(m+1)+1+2log
2
(t+1)+1
=2log
2
(m+1)(t+1)+2
≥2log
2
(n+1)
2
+2
=2[2log
2
(n+1)+1=2f(n).
举一反三
下列四组中的f(x),g(x)表示同一个函数的是( )
A.
f(x)=
x
3
,g(x)=
3
x
9
B.
f(x)=x-1,g(x)=
x
2
x
-1
C.
f(x)=
x
2
,g(x)=(
x
)
4
D.f(x)=1,g(x)=x
0
题型:不详
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|
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A={x|-2≤x≤2},B={y|0≤y≤8}.从A到B的对应法则f不是映射的是( )
A.f:x→y=2x
2
B.f:x→y=2
x
C.f:x→y=4x
D.f:x→y=ln(x+3)+5
题型:不详
难度:
|
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已知映射f:A→B,其中A=B=R,对应法则为f:x→y=x
2
+2x+3.若实数k∈B,在集合A中不存在原象,则k的取值范围是( )
A.(-∞,0)
B.[2,+∞)
C.(-∞,2)
D.(3,+∞
题型:不详
难度:
|
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已知集合A={-1,2,3},f:x→2x-1是集合A到集合B的映射,则集合B=______.
题型:不详
难度:
|
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题型:如皋市模拟
难度:
|
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