已知,n∈N+,An=2n2,Bn=3n,试比较An与Bn的大小,并加以证明.
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已知,n∈N+,An=2n2,Bn=3n,试比较An与Bn的大小, 并加以证明. |
答案
n∈N+时,An<Bn成立 |
解析
当n=1时:A1=2,B1=3,有A1<B1; 当n=2时:A2=8,B2=9,有A2<B2; 当n=3时:A3=18,B3=27,有A3<B3. 由上可归纳出当n∈N+时,都有An<Bn. 下面用数学归纳法证明(下面只证n≥2时成立): (1)当n=2时,由上可知不等式成立. (2)假设n=k(k∈N+,且k≥1)时不等式成立,即2k2<3k, 则3k+1=3×3k=3k+3k+3k>2k2+2k2+2k2. 由于2k2≥4k (k≥2),2k2>2, 所以3k+1>2k2+2k2+2k2>2k2+4k+2=2(k+1)2, 这表明,当n=k+1时,不等式也成立. 综合(1)、(2)可知,n∈N+,n≥2时,都有An<Bn成立. 综上可知n∈N+时,An<Bn成立. |
举一反三
用数学归纳法证明:对任意n∈N+,成立. |
是否存在常数a,b使等式对于一切n∈N*都成立?若存在,求出a,b的值,若不存在,请说明理由。 |
已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145. (1)求数列{bn}的通项公式bn; (2)设数列{an}的通项an=loga(其中a>0且a≠1).记Sn是数列{an}的前n项和,试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论. |
已知数列{an}满足a1=1,且4an+1-anan+1+2an=9(n∈N). (1)求a2,a3,a4的值; (2)由(1)猜想{an}的通项公式,并给出证明. |
已知f(n)=1+n∈N),g(n)=2(-1)(n∈N). (1)当n=1,2,3时,分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论); (2)由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并证明你的结论. |
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