已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N*,f(n)都能被m整除,则m的最大值为( )A.18B.36C.48D.54
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已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N*,f(n)都能被m整除,则m的最大值为( )A.18B.36C.48D.54
题型:不详
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已知f(n)=(2n+7)·3
n
+9,存在自然数m,使得对任意n∈N
*
,f(n)都能被m整除,则m的最大值为( )
A.18
B.36
C.48
D.54
答案
B
解析
先求出当n=1,2,3时f(n)的值,由此猜想m的最大值,再用数学归纳法证明结论成立.
由于f(1)=36,f(2)=108,f(3)=360都能被36整除,猜想f(n)能被36整除,即m的最大值为36.当n≥1时,可知猜想成立.假设当n=k(k≥1,k∈N
*
)时,猜想成立,即f(k)=(2k+7)·3
k
+9能被36整除;当n=k+1时,f(k+1)=(2k+9)
·3
k+1
+9=(2k+7)·3
k
+9+36(k+5)·3
k-2
,因此f(k+1)也能被36整除,故所求m的最大值为36.
举一反三
用数学归纳法证明:(n+1)+ (n+2)+…+(n+n)=
(n∈N
*
)的第二步中,当n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差等于
.
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已知f(n)=1+
+
+…+
(n∈N
*
),用数学归纳法证明f(2
n
)>
时,f(2
k+1
)-f(2
k
)等于
.
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用数学归纳法证明:
+
+…+
=
(n∈N
*
).
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用数学归纳法证明不等式:
+
+…+
>
(n∈N
*
且n>1).
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已知函数f(x)=
x
3
-x,数列{a
n
}满足条件:a
1
≥1,a
n+1
≥f"(a
n
+1).试比较
+
+
+…+
与1的大小,并说明理由.
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