试题分析:(Ⅰ)利用导数求解单调性,把恒成立转化为最值;(Ⅱ)可用数学归纳法来证明 ;(Ⅲ)通过放缩法来解决 与 的大小比较问题. 试题解析:(Ⅰ) ∵f(1)="a-b=0" ∴a=b ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200206/20200206204927-49388.png) ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200206/20200206204927-56878.png) 要使函数 在其定义域上为单调函数,则在定义域(0,+∞)内 恒大于等于0或恒小于等于0, 当a=0时, 在(0,+∞)内恒成立; 当a>0时, 恒成立,则 ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200206/20200206204928-71757.png) 当a<0时, 恒成立 ∴a的取值范围是: 5分 (Ⅱ) ∴a=1 则:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200206/20200206204929-55323.png) 于是![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200206/20200206204929-37175.png) 用数学归纳法证明 如下: 当n=1时, ,不等式成立; 假设当n=k时,不等式 成立,即 也成立, 当n=k+1时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200206/20200206204930-56642.png) 所以当n=k+1时不等式成立, 综上得对所有 时,都有 10分 (Ⅲ)由(2)得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200206/20200206204931-61109.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200206/20200206204931-10780.png) 于是![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200206/20200206204931-69591.png) 所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200206/20200206204931-46729.png) ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200206/20200206204932-60275.png) 累称得: 则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200206/20200206204933-88310.png) 所以 13分 |