试题分析:(1)令x=y=0得f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0×0⇒f(0)=0 (2)f(1)=1, f(2)=f(1+1)=1+1+2=4 f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9 f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16 (3)猜想f(n)=,下用数学归纳法证明之. 当n=1时,f(1)=1满足条件 假设当n=k时成立,即f(k)= 则当n=k+1时f(k+1)=f(k)+f(1)+2k=+1+2k=(k+1) 从而可得当n=k+1时满足条件 对任意的正整数n,都有 f(n)= 点评:本题目主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值,及数学归纳法在证明数学命题中的应用,及利用放缩法证明不等式等知识的综合. |